Диапазон значений полученной квадратичной функции определяет-
ся ее квадратичной формой. Если знаки при квадратах переменных
разные, т.е. если величина
σ
заключена между
2
и
2
β
, то диапазон
значений функции — вся числовая ось и локализирующего множества
нет. Если знаки одинаковые, то имеется точка экстремума.
При
σ >
2
,
σ >
2
β
выделением квадратов переменных находим
минимум функции
ψ
:
ψ
min
=
−
σ
(
b
2
1
+
b
2
2
)
σ
−
2
−
ρ
2
(
β
−
σ
)
2
σ
(
σ
−
2
β
)
.
Это дает семейство локализирующих множеств
Ω
4
(
b
1
, b
2
)
, описы-
ваемое неравенством
y
2
1
+
y
2
2
+
z
2
+ 2
b
1
x
1
+ 2
b
2
x
2
−
2
ρz
≥ −
σ
(
b
2
1
+
b
2
2
)
σ
−
2
−
ρ
2
(
σ
−
β
)
2
σ
(
σ
−
2
β
)
.
(10)
Чтобы найти пересечение
Ω
4
семейства
Ω
4
(
b
1
, b
2
)
, запишем нера-
венство (10) следующим образом:
σ
(
b
2
1
+
b
2
2
)
σ
−
2
+ 2
b
1
x
1
+ 2
b
2
x
2
+
+
y
2
1
+
y
2
2
+
z
2
+
ρ
2
(
σ
−
β
)
2
σ
(
σ
−
2
β
)
−
2
ρz
≥
0
.
(11)
Неравенство (11) выполняется для любых действительных
b
1
и
b
2
, од-
новременно не обращающихся в нуль. Следовательно, минимальное
значение левой части, являющейся квадратичной функцией перемен-
ных
b
1
и
b
2
, тоже неотрицательно. Подсчеты дают
1
−
2
σ
(
x
2
1
+
x
2
2
)
≤
y
2
1
+
y
2
2
+ (
z
−
ρ
)
2
+
β
2
ρ
2
σ
(
σ
−
2
β
)
.
Аналогично проводим исследование при
σ <
2
,
σ <
2
β
. В этом
случае функция
ψ
имеет максимум, который можно найти выделени-
ем квадратов по переменным. Получаем семейство локализирующих
множеств
Ω
4
(
b
1
, b
2
)
, которое описывается неравенством
σ
(
b
2
1
+
b
2
2
)
2
−
σ
−
2
b
1
x
1
−
2
b
2
x
2
+
ρ
2
(
β
−
σ
)
2
σ
(2
β
−
σ
)
−
y
2
1
−
y
2
2
−
z
2
+ 2
ρz
≥
0
.
Пересечение
Ω
4
семейства
Ω
4
(
b
1
, b
2
)
для случая
σ <
2
,
σ <
2
β
описы-
вается неравенством
2
σ
−
1 (
x
2
1
+
x
2
2
)
≤
β
2
ρ
2
σ
(2
β
−
σ
)
−
y
2
1
−
y
2
2
−
(
z
−
ρ
)
2
.
Конечные результаты.
Исследование системы (1) привело к не-
скольким локализирующим множествам, описанным в виде нера-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
13
