еще
5
параметров линейной формы. В силу однородной зависимости
от параметров можно сократить число параметров до
10
.
Канонический вид производной квадратичной функции.
Рассмо-
трим квадратичную функцию
ϕ
, у которой квадратичная форма имеет
матрицу
A
вида (2). Производная
D
ϕ
функции
ϕ
в силу системы (1)
является квадратичной функцией. С помощью компьютерной алгебры
вычисляем матрицу квадратичной формы функции
D
ϕ
как матрицу
Гессе, умноженную на коэффициент
1
/
2
. В результате получаем сле-
дующую матрицу
H
, отличающуюся от матрицы квадратичной формы
знаком:
2
a
11
σ
2
a
12
σ
−
b
5
−
a
11
σ
−
qρ p
+
pσ
+
a
12
σ b
3
2
a
12
σ
2
a
22
σ
p
−
a
12
σ
+
pσ b
5
+
a
22
σ
+
qρ
−
b
4
−
b
5
−
a
11
σ
−
qρ p
−
a
12
σ
+
pσ
2
q
0
0
p
+
pσ
+
a
12
σ b
5
+
a
22
σ
+
qρ
0
2
q
0
b
3
−
b
4
0
0
2
qβ
.
Отметим, что по матрице
H
можно судить об условиях, при кото-
рых функция
D
ϕ
имеет знакоопределенную квадратичную форму. На-
пример, необходимым условием положительной определенности явля-
ется неравенство
q <
0
. Это вытекает из критерия Сильвестра, но
угловые миноры выбирать надо не сверху, а снизу. Первые три мино-
ра дают элементарные условия, а два последних приводят к сложным
неравенствам.
Из вида матрицы
H
получаем условия, при которых квадратичная
форма функции
D
ϕ
имеет канонический вид, т.е. условия диагональ-
ности матрицы
H
:
b
3
=
b
4
= 0
, p
= 0
, a
12
= 0
, a
11
=
a
22
, b
5
=
−
a
11
σ
−
qρ.
Полагая
a
11
=
a
22
=
k
, можем записать вид функции
ϕ
, для кото-
рой квадратичная форма ее производной
D
ϕ
в силу системы имеет
диагональный вид:
ϕ
=
k
(
x
2
1
+
x
2
2
) +
q
(
y
2
1
+
y
2
2
+
z
2
) + 2
b
1
x
1
+ 2
b
2
x
2
−
2(
kσ
+
qρ
)
z.
(3)
При этом
−
1
2
D
ϕ
=
kσ
(
x
2
1
+
x
2
2
) +
σ
(
b
1
x
1
+
b
2
x
2
) +
q
(
y
2
1
+
y
2
2
)
−
−
σb
1
y
1
+
σb
2
y
2
+
qβz
2
−
β
(
kσ
+
qρ
)
z.
Семейства локализирующих функций.
Семейство (3) определяется
четырьмя параметрами:
k
,
q
,
b
1
,
b
2
. Здесь выделяется эллиптический
случай
k >
0
,
q >
0
(или
k <
0
,
q <
0
, что не дает ничего нового),
когда и сама функция
ϕ
, и ее производная
D
ϕ
в силу системы явля-
ются знакоопределенными. При этом поиск экстремальных значений
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
7
