удается извлечь новые результаты, имеющие особое значение для по-
строения нелинейной теории.
Постановка задачи.
Очевидно, что в реальной ситуации на пове-
дение заряженной границы жидкости накладываются различные фак-
торы, такие, как вязкость, тяжесть, поверхностное натяжение, влияние
электрического поля, фоновое движение одной жидкости по отноше-
нию к другой, и не всегда удается выделить вклад отдельных ком-
понентов. Поэтому представляется необходимым одновременное рас-
смотрение всех стабилизирующих и дестабилизирующих поверхность
факторов. В классической постановке рассматривается распростра-
нение волн на заряженной границе раздела двух несмешивающихся
несжимаемых жидкостей различных плотностей
ρ
0
,
ρ
, имеющих тол-
щины
h
1
,
h
2
верхнего и нижнего горизонтальных слоев соответствен-
но, причем верхняя жидкость — идеальный диэлектрик — движется с
постоянной скоростью
U
, нижняя — вязкая проводящая. Вывод дис-
персионного уравнения аналогичен представленному в работе [5], и
проводится по методике, описанной в работах [2, 6].
Исходными уравнениями являются уравнения неразрывности и
Навье–Стокса, линеаризованные в случае малости амплитуды волны
по сравнению с ее длиной:
∂υ
x
∂t
=
−
1
ρ
∂p
∂x
+
ν
∂
2
υ
x
∂x
2
+
∂
2
υ
x
∂z
2
;
∂υ
z
∂t
=
−
1
ρ
∂p
∂z
+
ν
∂
2
υ
z
∂x
2
+
∂
2
υ
z
∂z
2
−
g
;
∂υ
z
∂z
+
∂υ
x
∂x
= 0
,
где
υ
x
,
υ
z
— горизонтальная и вертикальная компоненты скорости
жидкости,
g
— ускорение свободного падения,
p
— давление,
ν
— ки-
нематическая вязкость жидкости.
Для верхней (идеальной) жидкости ищем потенциал поля скоро-
стей в виде [7]
Φ = Φ
1
+ Φ
2
;
Φ
1
exp [
i
(
kx
−
ωt
)] ch [
k
(
h
1
−
z
)] ;
Φ
2
=
Ux,
где
U
— скорость фонового движения верхней жидкости относительно
нижней;
k, ω
— волновое число и частота синусоидальной волны.
В качестве граничных условий используются условия равенства
давлений и нормальных скоростей на границе раздела, а также равен-
ство касательных напряжений нулю на границе контакта с идеальной
жидкостью.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
57
