— слой жидкости малой толщины, верхний слой бесконечно тол-
стый и движется с фоновой скоростью
U
; поверхностный заряд на
границе раздела отсутствует,
P
(
ω, k
) =
ω
2
−
c
2
0
k
2
−
2
βc
0
k
4 2
−
α
2
h
2
(
Uk
−
ω
)
4
k
2
;
— слой заряженной жидкости малой толщины, верхний слой бес-
конечно толстый и движется с фоновой скоростью
U
,
P
(
ω, k
) =
ω
2
−
c
2
0
k
2
−
2
βc
0
k
4 2
−
2
δk
2
+
αh
(
Uk
−
ω
)
2 2
k
2
;
— верхний и нижний слой имеют соизмеримые толщины, значи-
тельно меньшие длины волны, поверхность раздела заряжена, верхний
слой движется с фоновой скоростью
U
,
P
(
ω, k
) =
=
ω
2
−
c
2
0
k
2
−
2
βc
0
k
4
+
α
(
Uk
−
ω
)
2
b
1+
1
3
(1
−
b
2
)
b
2
h
2
k
2
2
−
4
δ
2
k
6
.
Выражения для функций
P
(
ω, k
)
в представленном виде служат
для корректного определения законов дисперсии, инвариантных отно-
сительно координатных преобразований, и необходимы для анализа
временной эволюции волновых пакетов.
Временная эволюция волновых пакетов.
Вернемся к средам со
слабой дисперсией. Поставим задачу: проследить за временным из-
менением некоторого предварительно заданного профиля волны. Зная
закон дисперсии, решение для любого момента времени запишем в
виде [11]
Φ (
x, t
) =
1
2
π
∞
Z
−∞
χ
(
k
) exp [
i
(
kx
−
ωt
)]
dk
;
χ
(
k
) =
∞
Z
−∞
Φ (
x,
0) exp [
−
ikx
]
dx.
(13)
Рассмотрим простейший случай дисперсии волн на заряженной
поверхности покоящейся жидкости с дисперсией (7). Будем считать,
что плотность поверхностного заряда не является критической, и все
волны являются устойчивыми. Разложим частоту
ω
в ряд по
k
и рас-
смотрим только моду, соответствующую волнам, бегущим вправо:
ω
=
c
0
k
1
−
δ
c
2
0
|
k
|
+
β
c
0
−
δ
2
2
c
4
0
k
2
=
=
c
0
k
−
δ
c
0
k
|
k
| −
δ
2
2
c
3
0
−
β k
3
.
(14)
64
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
