поверхностью заряженного проводника
ϕ
= 4
πσ
(
a
exp [
i
(
kx
−
ωt
)
−
kz
]
−
z
)
,
p
E
=
−
E
2
8
π
=
−
(
r
ϕ
)
2
8
π
=
−
2
πσ
2
(1 + 2
ak
exp [
i
(
kx
−
ωt
)] +
+
a
2
k
2
exp [2
i
(
kx
−
ωt
)] +
a
2
(
ik
)
2
exp [2
i
(
kx
−
ωt
)]) =
=
−
2
πσ
2
−
4
πσ
2
kξ,
где
E
— напряженность электрического вблизи поверхности проводя-
щей жидкости,
ϕ
— потенциал электрического поля.
Из сказанного следует, что выражение (2) не будет дополняться
поправками, связанными с электрическим полем и движением верхней
жидкости, зависящими от амплитуды, что полностью согласуется с
линейной теорией, описанной в работе [8].
Общие свойства дисперсионных соотношений.
Дисперсионные
эффекты сразу после открытия Расселом уединенной волны и первых
работ Рэлея и Буссинеска, Стокса, Кортевега, Де-Фриза, а позднее —
Бюргерса, Хопфа и Коуэла, стали стержнем дискуссий, на который
нанизывались самые различные проблемы исследований нелинейных
волн (см., например, [10–12]). Однако несмотря на большое число ра-
бот, посвященных данной тематике, и широкий спектр приложений, в
множестве классических изданий нет однозначного определения дис-
пергирующих волн и их классификации по дисперсионным свойствам.
Можно предложить классификацию волн по характеру изменения фа-
зовой скорости при длине волны, стремящейся к бесконечности. Так,
волна называется недиспергирующей, если
ω
(
k
)
k
=
c
0
,
c
0
— постоян-
ная; слабодиспергирующей, если
lim
k
→
0
ω
(
k
)
k
=
c
0
,
c
0
6
= 0
, и дисперги-
рующей, если не существует конечного предела
lim
k
→
0
ω
(
k
)
k
.
Еще более неясным остается понятие диспергирующей среды, ко-
торое, по-видимому, является несколько некорректным. Дело в том,
что диспергировать могут только волны в среде, но окончательное
дисперсионное соотношение формируется исходя из физических урав-
нений среды и множества допущений и требований, которые наклады-
ваются на характер движения среды, причем гипотезы о ее свойствах
при различных допущениях могут не меняться. К примеру, при одних
условиях волна может быть диспергирующей, а при других — сла-
бодиспергирующей. Ярким примером тому являются гравитационные
и капиллярные волны на поверхности бесконечно глубокой емкости
с жидкостью и емкости конечной глубины: при бесконечно глубокой
емкости капиллярные и гравитационные волны являются диспергиру-
ющими, а для жидкости в емкости конечной глубины эти же волны
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
59
