где
G
— некоторый многочлен. При подстановке в это уравнение эле-
ментарного решения вида
ϕ
/
exp [
i
(
ωt
−
kx
)]
дифференцирование
приведет к появлению множителей
iω
и
−
ik
. Поэтому дисперсионное
соотношение имеет вид (для волны, бегущей вправо)
G
(
iω,
−
ik
) = 0
.
Идеальные жидкости. Линейная теория “мелкой воды”.
Вер-
немся к выражению (2) и рассмотрим предельный случай идеальной
жидкости, получающийся при переходе
ν
→
0
:
ω
2
−
γk
2
−
4
πσ
2
|
k
|
+(1
−
α
)
ρg
ρ
k
th(
kh
2
) +
α
(
Uk
−
ω
)
2
th(
kh
2
)
th(
kh
1
)
= 0
.
(6)
Уравнение (6) позволяет рассматривать волны, движущиеся как
вправо, так и влево. Об изотропности уравнения (6) говорить не при-
ходится в связи с наличием фонового движения, т.е. выделенного на-
правления и нарушения симметрии задачи.
Рассмотрим предельные случаи уравнения (6).
Пусть верхняя жидкость гораздо легче нижней, т.е.
α
→
0
. Тогда
имеем
ω
2
=
γk
2
−
4
πσ
2
|
k
|
+
ρg
ρ
k
th(
kh
2
)
.
(7)
Дисперсионное соотношение разложим в ряд по
k
до членов чет-
вертого порядка:
ω
2
=
ghk
2
1
−
4
πσ
2
ρgh
|
k
|
+
γ
ρg
−
h
2
3
k
2
и представим в соответствии с формой (5) в виде
P
(
ω, k
) = 0;
P
(
ω, k
) = (
ω
2
−
c
2
0
k
2
−
2
βc
0
k
4
)
2
−
4
δ
2
k
6
;
c
0
=
√
gh
;
β
=
√
gh
2
γ
ρg
−
h
2
3
;
δ
=
2
πσ
2
ρ
,
(8)
считая
h
2
=
h.
Дисперсионное соотношение (8) инвариантно относительно сме-
ны знака
k
. Следует однако отметить, что при рассмотрении диспер-
гирующих волн для случая одной волны (например, бегущей вправо)
достаточно разложения
ω
(
k
)
в ряд до 3-й степени по
k
. Последнее
означает, что в выражении (8) и в аналогичных ему в дальнейшем
можно отбросить члены старше 6-го порядка по
k
.
Рассмотрим случай, когда
α
не слишком мало, а слой верхней жид-
кости является бесконечно толстым, т.е.
kh
1
→ ∞
. При этом будем
62
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
