рассматривать только величины не старше четвертого порядка мало-
сти по
k
, тогда
ω
2
−
ghk
2
1
−
4
πσ
2
ρg
|
k
|
+
γ
ρg
−
h
2
3
k
2
+
αh
(
Uk
−
ω
)
2
|
k
|
= 0
.
(9)
Для представления уравнения (9) в виде, аналогичном (8), сгруп-
пируем слагаемые, содержащие модуль
k
, в правой части, возведем в
квадрат обе части уравнения и получим
P
(
ω, k
) = 0;
P
(
ω, k
) = (
ω
2
−
c
2
0
k
2
−
2
βc
0
k
4
)
2
−
2
δk
2
+
αh
(
Uk
−
ω
)
2 2
k
2
.
(10)
Уравнение (10) уже не инвариантно относительно смены знака пе-
ред
k
. Так же можно рассматривать задачу распространения волн на
незаряженной границе раздела между двумя идеальными жидкостями,
когда верхняя имеет фоновое движение со скоростью
U
.
В заключение рассмотрим случай длинных волн на заряженной
границе раздела слоев двух жидкостей малой толщины. Для этого, как
и ранее, разлагаем составляющие уравнения (6) до 4-го порядка по
k
включительно:
ω
2
−
gh
2
k
2
1
−
4
πσ
2
ρg
|
k
|
+
γ
ρg
−
h
2
2
3
k
2
+
+
α
(
Uk
−
ω
)
2
h
2
h
1
1 +
1
3
h
2
1
−
h
2
2
k
2
= 0
.
(11)
Отсюда так же, как в (8) и (10), получаем дисперсионное соотно-
шение в виде
P
(
ω, k
) = 0;
P
(
ω, k
) =
=
ω
2
−
c
2
0
k
2
−
2
βc
0
k
4
+
α
(
Uk
−
ω
)
2
b
1+
1
3
(1
−
b
2
)
b
2
h
2
k
2
2
−
4
δ
2
k
6
,
(12)
где
b
=
h
2
h
1
.
Таким образом, для случая волн малой амплитуды на “невязкой
мелкой воде” можно выделить несколько характерных случаев диспе-
рсионных соотношений вида (8), (10), (12):
— слой жидкости малой толщины с заряженной поверхностью,
верхний слой жидкости отсутствует,
P
(
ω, k
) =
ω
2
−
c
2
0
k
2
−
2
βc
0
k
4 2
−
4
δ
2
k
6
;
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
63
