являются слабодиспергирующими. Более того, при определенном со-
четании капиллярной постоянной и глубины емкости дисперсии может
и не быть вовсе. При этом среда остается неизменной. Можно, ко-
нечно, подразумевать под диспергирующими среды, допускающие су-
ществование диспергирующих волн, но такая классификация не дает
предварительной информации, а требует решения задачи определения
дисперсионного соотношения, о главных свойствах которого пойдет
речь далее.
Выясним общие свойства законов дисперсии для линейных систем,
которые в общем случае для волн, бегущих вправо, запишем в неявном
виде как
G
(
ω, k
) = 0
,
ξ
exp [
i
(
kx
−
ωt
)]
.
Тогда переход к дисперсии волн, бегущих влево, может быть осу-
ществлен как
k
→ −
k
,
Re
[
−
ω
]
→ −
Re
[
ω
]
,
Im
[
−
ω
]
→
Im
[
ω
]
,
ξ
exp [
i
(
−
kx
−
ωt
)] = exp [
−
i
(
kx
−
(
−
ωt
))]
.
(3)
Сохранение знака мнимой части не случайно и связано с фунда-
ментальными свойствами распределения энергии в системе, так как
частоту можно представить в виде
ω
= ˜
ω
+
iβ.
Переход (3) сохраняет знак коэффициента затухания, т.е. условие
устойчивости (или неустойчивости) волны во времени и характер об-
мена энергией в исследуемой системе. Итак, из проведенных рассу-
ждений следует
G
(
Re
[
ω
] +
i
Im
[
ω
]
,
−
k
) =
G
(
−
Re
[
ω
] +
i
Im
[
ω
]
, k
)
.
Если рассматривать только действительную частоту и коэффици-
ент затухания и если существует обратная функция
G
−
1
, то
˜
ω
(
−
k
) =
Re
[
G
−
1
[
G
(
Re
[
ω
] +
i
Im
[
ω
]
,
−
k
)]] =
=
Re
[
G
−
1
[
G
(
−
Re
[
ω
] +
i
Im
[
ω
]
, k
)]] =
−
˜
ω
(
k
)
,
β
(
−
k
) =
Im
[
G
−
1
[
G
(
Re
[
ω
] +
i
Im
[
ω
]
,
−
k
)]] =
=
Im
[
G
−
1
[
G
(
−
Re
[
ω
] +
i
Im
[
ω
]
, k
)]] =
β
(
k
)
.
(4)
Таким образом, из общих соображений мы получили подтвержде-
ние очень важного и известного следствия — частота волнового дви-
жения является нечетной функцией по отношению к волновому числу
k
, а коэффициент затухания — четной.
60
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
