Дисперсионное уравнение в случае волн, распространяющихся
вправо, имеет вид [4, 5]
(2
−
χ
) (1 + th(
lh
2
)
−
χ
) +
+ (Ω(
k
) +
K
(
k, ω
))
(
χ
−
1) +
th(
lh
2
)
th(
kh
2
)
χ
= 2 (1 + th(
kh
2
))
√
1
−
χ
;
K
(
k, ω
) =
−
α
(
Uk
−
ω
)
2
v
2
k
4
th(
kh
2
)
th(
kh
1
)
;
Ω(
k
) =
γk
2
−
4
πσ
2
k
+ (1
−
α
)
ρg
ρv
2
k
2
th(
kh
2
)
k
;
α
=
ρ
0
ρ
;
χ
=
iω
vk
2
,
где
σ
— поверхностная плотность электрического заряда проводящей
жидкости,
γ
— совокупный коэффициент поверхностного натяжения.
В силу симметрии задачи при переходе
k
→ −
k, U
→ −
U
(1)
вид дисперсионного уравнения не должен меняться, поэтому для волн,
распространяющихся как вправо, так и влево, получим
(2
−
χ
) (1 + th(
lh
2
)
−
χ
) + + (Ω(
k
) +
K
(
k, ω
))
×
×
(
χ
−
1) +
th(
lh
2
)
|
th(
kh
2
)
|
χ
= 2 (1 +
|
th(
kh
2
)
|
)
√
1
−
χ
;
K
(
k, ω
) =
−
α
(
Uk
−
ω
)
2
v
2
k
4
th(
kh
2
)
th(
kh
1
)
;
Ω(
k
) =
γk
2
−
4
πσ
2
|
k
|
+ (1
−
α
)
ρg
ρv
2
k
2
th(
kh
2
)
k
.
(2)
Как нетрудно убедиться, дисперсионное соотношение (2) получено
в линейном приближении по амплитуде волны (все слагаемые, про-
порциональные квадрату амплитуды, отбрасывались) и инвариантно
относительно преобразований (1).
Важнейшим свойством нелинейных диспергирующих волн явля-
ется то, что в дисперсионное соотношение, связывающее частоту и
волновое число, входит амплитуда [8].
При фоновом движении верхней жидкости квадратичная поправка
по амплитуде не появляется, равно как и для давления
p
E
электри-
ческого поля при известном потенциале поля [9] над колеблющейся
58
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
