Следует особо отметить, что условие (4) является значительно бо-
лее сильным, чем простое требование нечетного или четного характе-
ра разложения
ω
по степеням
k
, так как допускает четные и нечетные
продолжения для любых показателей степени
p
:
f
(
k
) =
k
p
, f
1
(
k
) =
|
k
|
p
, f
2
(
k
) =
k
|
k
|
p
−
1
.
Как нетрудно заметить, для любых показателей степени
p
,
f
1
[
k
]
является четной функцией, а
f
2
[
k
]
— нечетной, к примеру, затухание
Ландау ионно-звуковых волн в плазме описывается дисперсией вида
[10, 11]
ω
=
c
0
k
−
βk
3
−
iδ
|
k
|
,
где коэффициенты перед степенями волнового числа
k
— некоторые
вещественные числа.
На показатель степени
p
тоже накладывается одно важное огра-
ничение: в связи с инвариантностью относительно системы отсчета
любое выражение
ω
(
k
)
должно обращаться в нуль при
k
→
0
, откуда
следует
p >
0
.
Запишем теперь в общем виде дисперсионное соотношение для
волн, бегущих как вправо, так и влево, в виде
P
(
ω, k
) = 0;
P
(
ω, k
) =
G
(
ω, k
)
G
(
ω,
−
k
)
.
(5)
Полученные результаты следуют уже из соображений веществен-
ности [8, 10], так как исходная система физических уравнений дви-
жения среды вещественна, а мнимая единица
i
может появиться лишь
в результате подстановки члена, пропорционального
exp [
i
(
kx
−
ωt
)]
.
Поэтому в этом случае закон дисперсии определяет зависимость пе-
ременной
i
˜
ω
от
ik
в виде нечетной функции. По тем же причинам,
разложение коэффициента затухания является четной функцией
k
.
Для законов дисперсии нелинейных волн характерна зависимость
частоты волны не только от значения волнового числа, но и от ампли-
туды волны, и заранее построить ряд их особенностей относительно
разного рода преобразований не удается, что, по-видимому, само по
себе является главной замечательной особенностью таких соотноше-
ний и множества явлений, охватываемых ими.
Зная дисперсионное соотношение в виде (5), можно восстановить
дифференциальное уравнение, которому соответствует уравнение ли-
нейной бегущей волны.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффи-
циентами можно записать в виде
G
∂
∂t
,
∂
∂x
ϕ
= 0
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
61
