Лемма 1.
Пусть функция распределения
G
(
x
)
удовлетворяет усло-
виям A1, A2, A3 и A4. Тогда в окрестности
α
= 0
функция правдопо-
добия имеет вид
P
n
(
s, α
) = 2
−
n
1 +
A
q
X
j
=1
γ
j
α
j
+
o
(
|
α
|
)
!
,
(5)
где
γ
t
и
A
определяются формулами (4) и (3) соответственно.
Доказательство леммы 1 приведено далее.
Из леммы 1 следует, что
∂P
n
(
s,
0)
∂α
j
с точностью до неотрицатель-
ного множителя есть
γ
j
. Таким образом, статистика ЛНМ критерия
имеет вид
γ
j
, а критическая область есть
Q
=
{
s
:
γ
j
> C
1
}
,
(6)
где
C
1
— константа. Аналогично строится ЛНМ критерий для проверки
H
0
против
H
2
j
:
α
j
<
0
. Его критическая область имеет вид
Q
=
{
s
:
γ
j
< C
2
}
,
(7)
где
C
2
— константа.
Перейдем к построению ЛНМ несмещенного знакового критерия
для проверки гипотезы
H
0
:
α
= 0
против двусторонней альтернативы
H
3
j
:
α
6
= 0
,
j
= 1
, . . . , q
.
Следуя общему определению несмещенности (см. [3], с. 174), опре-
делим несмещенный знаковый критерий для проверки
H
0
:
α
= 0
против двусторонней альтернативы
H
3
j
:
α
6
= 0
как критерий, для
которого верно неравенство
P
n
(
Q,
0)
≤
P
n
(
Q, α
)
, α
= (0
, . . . ,
0
, α
j
,
0
, . . . ,
0)
, α
j
6
= 0
, j
= 1
, . . . , q.
Легко видеть, что если функция
P
n
(
Q, α
)
дифференцируема по
α
j
в
точке
α
j
= 0
, то из этого неравенства следует, что
∂P
n
(
s,
0)
∂α
j
= 0
.
(8)
В этом случае критерий будет ЛНМ несмещенным, если выполнено
(8) и
∂
2
P
n
(
s,
0)
∂α
2
j
максимальна.
Лемма 2.
Пусть функция распределения
G
(
x
)
удовлетворяет усло-
виям A1, A2 и A5. Тогда в окрестности
α
= 0
функция правдоподобия
имеет вид
P
n
(
s, α
) = 2
−
n
1 +
A
q
X
j
=1
γ
j
α
j
+
78
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
