Знаковые критерии в модели скользящего среднего - page 9

Если r < j − 1, то воспользовавшись измеримостью εn −j относи-
тельно σ-алгебры Ω n−2−r , получим
E(I n−1 −r εn−j εn−r−j ) =
= E In −2−r Eεn−j εn−r−j E
1 + sn−1−r
2 −
− sn−1−r I (un−1−r < 0) |Ω n−2 −r =
= E "In−2−r εn −j εn−r−j ( 1 + sn−1−r
2 − sn−1−r G −
q Xk=1
α k εn−1−r−k !)# =
= E In−2 −r εn−j εn−r−j
1 + sn−1 −r
2 − sn−1−r G(0)−
− G0 ( −τ
q Xk =1
αk εn−1 −r−k )
q Xk =1
αk εn−1 −r−k =
=
1
2
E(I n−2−r εn−j εn−r−j ) + o(1), 0 < τ < 1.
Используя эту формулу рекуррентным образом j − r − 1 раз, получаем
E( In−1−rεn−j εn−r−j ) = 2r−j +1E( In−j εn−j εn−r−j ) + o(1). (17)
Из представления (11), измеримости εn−j−1 , . . . , εn −j −q относитель-
но Ω n−j −1 и независимости εn−j от Ωn−j −1 , будем иметь для всех
r = 1, . . . , j − 1
E(I n−j εn−j εn−r−j ) =
= E In−j −1 εn−r−j E εn−j
1 + sn−j
2 − sn−j I ( un −j < 0) |Ωn−j −1 =
= −sn−j E [In −j −1εn−r−j E (εn−j I (un−j < 0)| Ωn−j −1 )] .
Так же, как и для h(α ) в (14), разлагая функцию
h1 (α ) = E {εn−j I (un−j < 0)|Ω n−j−1 } ,
по формуле Тейлора в точке α = 0, получаем
h1 (α ) = Eε−
1 + o(α ).
Поэтому для всех r = 1, . . . , j − 1
E( In−j εn −j εn−r−j ) = −sn−j ( E(ε−
1 )E( In−1−j εn−r−j ) + o(1),
где, принимая во внимание (16), найдем, что для всех r = 1, . . . , j − 1
E(I n−j εn−j εn−r −j ) = −sn−j (Eε−
1 )21−r E(In−r−j εn−r−j ) + o(1),
84 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1