Из (9) следует, что таким критерием будет критерий, основанный
на статистике
q
X
j
=1
γ
2
j
−
2
n
−
1
/
2
γ
2
j
,
а асимптотически эквивалентный ему критерий будет иметь вид
s
:
T
2
q
> C ,
где
T
2
q
=
P
q
j
=1
γ
2
j
.
Из замечаний 2 и 3 следует, что при
n
→ ∞
асимптотическое
распределение статистики
T
2
q
будет
χ
2
-распределением с
q
степенями
свободы.
Доказательство леммы 2.
Обозначим
I
k
=
I
{
(
S
1
, . . . , S
k
) = (
s
1
, . . . , s
k
)
}
, k
= 1
, . . . , n,
где
I
— индикаторная функция множества. Обозначим также
Ω
k
σ
-алгебру, порожденную случайными величинами
ε
j
,
j
≤
k
. Отме-
тим, что
I
(
S
k
=
s
k
) =
1 +
s
k
2
I
(
u
k
>
0)+
1
−
s
k
2
I
(
u
k
<
0) =
1 +
s
k
2
−
s
k
I
(
u
k
<
0)
,
поэтому
I
k
=
I
k
−
1
I
(
S
k
=
s
k
)=
I
k
−
1
1+
s
k
2
−
s
k
I
(
u
k
<
0)
, k
= 2
, . . . , n.
(11)
Воспользовавшись этой формулой при
k
=
n
, измеримостью
ε
n
−
1
и
независимостью
ε
n
−
2
относительно
σ
-алгебры
Ω
n
−
1
, будем иметь
P
n
(
s, α
) =
E
I
n
=
E E
I
n
−
1
1 +
s
n
2
−
s
n
I
(
u
n
<
0)
|
Ω
n
−
1
=
=
E
"
I
n
−
1
E
1 +
s
n
2
−
s
n
I
(
ε
n
<
−
q
X
j
=1
α
j
ε
n
−
j
)
|
Ω
n
−
1
!#
=
=
E
"
I
n
−
1
1 +
s
n
2
−
s
n
G
(
−
q
X
j
=1
α
j
ε
n
−
j
)
!#
.
(12)
Разлагая по формуле Тейлора функцию
G
в нуле до членов второго
порядка включительно и учитывая, что
G
(0) = 1
/
2
, получаем
G
(
−
q
X
j
=1
α
j
ε
n
−
j
) =
=
G
(0) +
G
0
(0)(
−
q
X
j
=1
α
j
ε
n
−
j
) +
G
00
(
−
τ
q
X
j
=1
α
j
ε
n
−
j
)(
−
q
X
j
=1
α
j
ε
n
−
j
)
2
=
= 1
/
2 +
G
0
(0)(
−
q
X
j
=1
α
j
ε
n
−
j
) +
G
00
(0)(
−
q
X
j
=1
α
j
ε
n
−
j
)
2
+
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
81
