+
A
2
q
X
j
=1
α
2
j
γ
2
j
+ (
n
−
j
)
−
2
n
−
1
/
2
γ
2
j
+
q
X
j,r
=1
j
6
=
r
c
jr
α
j
α
r
+
o
|
α
|
2
!
,
(9)
где
c
jr
,
1
≤
j
6
=
r
≤
q
, некоторые постоянные, не зависящие от
α
.
Доказательство леммы 2 приведено далее.
Из (2) и (9) следует, что ЛНМ критерий мы получим, если будем
последовательно вплоть до достижения заданного уровня значимости
составлять
Q
из тех векторов
s
, которые обладают наибольшими зна-
чениями
γ
2
j
−
2
n
−
1
/
2
γ
2
j
.
Отметим, что для векторов
s
и
s
0
= (
s
0
1
, . . . , s
0
n
)
, где
s
0
k
= (
−
1)
[(
k
−
1)
/j
]
s
k
, k
= 1
, . . . , n,
величины
γ
2
j
и
γ
2
2
j
совпадают, а величины
γ
j
противоположны. По-
этому, если включать в
Q
векторы парами
s
и
s
0
указанного вида,
построенный ЛНМ критерий автоматически окажется несмещенным.
Таким образом, искомая критическая область
Q
=
s
:
γ
2
j
−
2
n
−
1
/
2
γ
2
j
>
const
.
(10)
Резюмируем эти результаты в виде теоремы.
Теорема 1.
Если выполнены условия A1, A2 и A4, то ЛНМ зна-
ковый критерий для проверки гипотезы
H
0
против альтернативы
H
1
j
в модели (1) имеет вид (6); ЛНМ знаковый критерий для проверки
гипотезы
H
0
против альтернативы
H
2
j
имеет вид (7),
j
= 1
, . . . , q
.
Если выполнены условия A1, A2 и A5, то ЛНМ несмещенный
знаковый критерий для проверки гипотезы
H
0
против альтернативы
H
3
j
имеет вид (10),
j
= 1
, . . . , q
.
Сделаем несколько важных замечаний.
Замечание 1.
Вид построенных знаковых критериев не зависит от
вида функции распределения
G
(
x
)
, такой, что
G
(0) = 0
,
5
.
Замечание 2.
При гипотезе
H
0
и условии
G
(0) = 0
,
5
случайные
величины
s
k
s
k
−
j
,
k
= 2
, . . . , n
, имеют нулевое среднее, единичную
дисперсию и независимы между собой [4]. Поэтому
γ
j
имеют бино-
миальное распределение, что позволяет строить критерии (6), (7), (10)
с фиксированным уровнем значимости для малых выборок.
Замечание 3.
Из замечания 2 следует, что в соответствии с цен-
тральной предельной теоремой при
n
→ ∞
n
−
1
/
2
γ
j
ac
N
(0
,
1)
.
Замечание 4.
Из замечания 3 следует, что
γ
2
j
−
2
n
−
1
/
2
γ
2
j
=
O
p
(
γ
2
j
)
, n
→ ∞
, j
= 1
, . . . , q.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
79
