Следовательно, построенный ЛНМ несмещенный знаковый крите-
рий
Q
для проверки гипотезы
H
0
против двусторонней альтернативы
H
3
j
асимптотически совпадает с объединением двух ЛНМ критери-
ев для проверки
H
0
против односторонних альтернатив
H
1
j
и
H
2
j
,
j
= 1
, . . . , q
. Однако для доказательства оптимальности двусторон-
него критерия требуется более жесткое ограничение A5, которое не
является необходимым для построения односторонних критериев.
Построим критерий для проверки гипотезы
H
0
:
α
= 0
против аль-
тернативы
H
A
:
α
6
= 0
. Хотелось бы считать, что критерий тем лучше,
чем быстрее его функция мощности возрастает при удалении от нуля.
Из формулы (9) следует, что частные производные функции мощно-
сти
P
n
(
Q, α
)
пропорциональны
γ
j
,
j
= 1
, . . . , q
. Поскольку функции
γ
1
, . . . , γ
q
не равны между собой на всем множестве последовательно-
стей
s
1
, . . . , s
n
длины
n
из
+1
и
−
1
, то критические множества для
критериев, максимизирующих
P
n
(
Q, α
)
в направлении различных ко-
ординатных осей, не совпадают друг с другом. Отсюда следует, что
равномерно наиболее мощного критерия для проверки
H
0
:
α
= 0
про-
тив альтернативы
H
A
:
α
6
= 0
не существует даже в локальном смысле
(из существования ЛНМ критерия следовало бы, что он является ЛНМ
и против частных альтернатив
α
j
6
= 0
, что противоречит утверждению
теоремы 1). В этом случае наиболее общим подходом к решению рас-
сматриваемой задачи является оптимизация какой-либо рационально
выбранной скалярной характеристики критического множества (см.,
например, [5]). Следуя Ю.Н. Тюрину [1] и М.В. Болдину [2], возьмем
в качестве такой характеристики среднюю кривизну функции мощно-
сти
P
n
(
Q, α
)
в точке
α
= 0
, которая определяется как среднее значение
мощности по сфере бесконечно малого радиуса с центром в нуле:
lim
ρ
→
0
ρ
−
1
−
q
Z
|
α
|
=
ρ
(
P
n
(
Q, α
)
−
P
n
(
Q,
0))
dα.
Эта величина пропорциональна следу матрицы
∂
2
P
n
(
Q, α
)
∂α
i
∂α
j
i,j
=1
,...,q
,
т.е. величине
q
X
j
=1
∂
2
P
n
(
Q, α
)
∂α
2
j
.
Следуя Ю.Н. Тюрину [1], назовем критерий для проверки
H
0
:
α
= 0
против альтернативы
H
A
:
α
6
= 0
локально оптимальным знаковым
критерием, если среди всех критериев заданного уровня значимо-
сти он обладает наибольшей средней кривизной функции мощности
P
n
(
Q, α
)
в точке
α
= 0
.
80
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 1
