Задача минимизации по
Θ
функционала (30) при фиксированных
значениях
ξ
есть обычная задача регрессионного анализа. Исследо-
вания показали, что для обеспечения минимального времени счета и
большей точности лучше всего на первом шаге решать систему линей-
ных уравнений при
ξ
ij
=
x
ij
методом Гаусса с выбором максимального
элемента, в дальнейшем минимизируя по
Θ
функционал (30) методом
сопряженных градиентов. Учитывая вид функционала (30), задачу ми-
нимизации по
Θ
легко свести к задаче поиска минимума квадратичной
формы
G
(Θ) =
1
2
Θ
T
A
Θ +
a
T
Θ
,
которая решается методом сопряженных градиентов. Здесь
Θ
— век-
тор искомых оценок параметров;
A
— матрица квадратичной формы,
элементы которой вычисляются по формуле
A
rp
=
m
X
j
=1
1
σ
2
(
y
j
)
x
rj
x
pj
;
r
= 1
,
2
, . . . , n
;
p
= 1
,
2
, . . . , n,
x
rj
— значение
r
-й переменной, полученное в
j
-м измерении;
a
T
—
вектор, компоненты которого равны
a
T
r
=
−
m
X
j
=1
y
j
σ
2
(
y
j
)
x
rj
;
r
= 1
,
2
, . . . , n.
Пересчет точных значений
ξ
на основании условий
∂F
∂ξ
ij
= 0
сво-
дится к решению
m
несвязанных между собой систем из
n
линейных
уравнений вида
n
X
r
=1
Θ
r
Θ
p
σ
2
(
y
j
)
ξ
rj
+
ξ
pj
σ
2
(
x
pj
)
=
x
pj
σ
2
(
x
pj
)
+
Θ
p
∙
y
j
σ
2
(
y
j
)
;
p
= 1
,
2
, . . . , n
;
j
= 1
,
2
, . . . , m.
Полученные новые значения
ˆ
ξ
должны удовлетворять условию
(31). В противном случае те
ξ
ij
, которые выходят за указанные грани-
цы, заменяются значениями ближайшей граничной точки. В связи с
этим иногда можно ожидать увеличения функционала (30) при новых
точных значениях переменных
ξ
по сравнению с предыдущим шагом
итерационного процесса. Это приводит к снижению скорости сходи-
мости процесса и даже к возникновению колебаний. Для устранения
таких нежелательных последствий после пересчета
ξ
те наборы
ξ
ij
,
с использованием которых произошло увеличение соответствующих
20
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 3
