diag
{∙}
— диагональная матрица,
i
-й диагональный элемент которой
вычисляется по формуле, заключенной в скобки. Здесь важным отли-
чием от таких методов, как гребневая регрессия [27], является зависи-
мость
H
от
Λ (x)
— варьируемого штрафа.
Алгоритм может также интерпретироваться как квазиньютонов-
ский алгоритм с аппроксимацией гессиана. Полный гессиан опреде-
ляется выражением
r
xx
J
ε
= H (x) +
λ
diag
(
p
(
p
−
2)
|
x
i
|
2
|
x
i
|
2
+
ε
2
−
p
/2
)
.
(26)
Для
p <
2
второе слагаемое всегда отрицательно и может привести
к бесконечности гессиана. Оставляя только первое слагаемое, мы по-
лучаем положительно определенную аппроксимацию гессиана. Кроме
того, для
p
= 2
аппроксимация становится точной.
Итеративный квазиньютоновский алгоритм имеет следующий вид:
ˆx
(
n
+1)
= ˆx
(
n
)
−
β
H ˆx
(
n
)
−
1
r
x
J
ε
ˆx
(
n
)
.
(27)
При выборе шага
β
= 1
сокращение слагаемых в правой части
приводит данное выражение к виду (24). Градиент
J
ε
(x)
выражается
формулой
r
x
J
ε
= 2A
T
(Ax
−
y) +
λ
vec
(
px
i
|
x
i
|
2
+
ε
1
−
p
/2
)
=
=
2A
T
Ax +
λ
diag
(
p
|
x
i
|
2
+
ε
1
−
p
/2
)!
x
−
2A
T
y = H (x) x
−
2A
T
y
.
(28)
Отсюда получаем
ˆx
(
n
+1)
= ˆx
(
n
)
−
H ˆx
(
n
)
−
1
r
x
J
ε
ˆx
(
n
)
= 2H ˆx
(
n
)
−
1
A
T
y
,
(29)
что приводит к выражению (24).
Продолжаем итеративный процесс в (24) до тех пор, пока
ˆx
(
n
+1)
−
ˆx
(
n
)
2
2
ˆx
(
n
)
2
2
< δ,
где
δ >
0
— малая константа. Сходимость алгоритма из любой началь-
ной точки к локальному минимуму гарантирована [28, 29].
В рассматриваемой задаче пеленгации сигналов необходимо до-
полнительно учесть влияние погрешностей всех величин (кроме по-
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 3
