часть
x
, которая принадлежит нуль-пространству
T
(острые всплес-
ки сигнала
x)
. Данный факт показывает необходимость разработки
более общего нелинейного вида регуляризации, который сможет обес-
печить серьезное улучшение характеристик в данном отношении, со-
храняя острые пики и другие важные элементы, а также обеспечить
сверхразрешение при восстановлении решения [11]. Вычислительная
сложность в последнем случае значительно возрастает.
Две известные не квадратичные регуляризирующие функции — это
полная вариация и энтропия [9]. Полная вариация накладывает штраф
на сумму вариаций сигнала
J
2
=
k
Δx
k
1
=
X
i
|
[Δx]
i
|
, где
Δ
— дис-
кретная аппроксимация оператора градиента. Полная вариация наибо-
лее часто используется в задачах обработки изображений, в частно-
сти для их восстановления. По сравнению с регуляризацией Тихонова
штраф на мощные составляющие меньше, и восстановленное решение
может содержать острые пики.
Регуляризация посредством максимальной энтропии использует
следующую функцию, подобную энтропии:
J
2
(x) =
X
i
|
x
i
|
log
|
x
i
|
.
Возможны некоторые вариации с использованием перекрестной эн-
тропии и дивергенции. Регуляризирующие функции в данной форме
приводят к большей концентрации энергии в восстановленном реше-
нии (большинство коэффициентов очень малы, несколько — велики).
Другой способ концентрации энергии — это некорректность. Данный
способ лучше всего применим для данных, которые обладают похожим
характером изменения, например, спектральная оценка для сигналов
с несколькими гармониками или пеленгация точечного излучателя.
Другая регуляризующая функция, которая обладает таким же эф-
фектом некорректности, — это
`
1
-штраф:
J
2
=
k
x
k
1
. Данная функция
подобна полной вариации, за исключением того, что берется
`
1
-норма
значений
x
вместо их производных. Полная вариация допускает не-
корректные скачки градиента
x
, тогда как
`
1
-штраф выделяет некор-
ректные значения
x
. Более того, для снижения штрафа, накладывае-
мого на большие по значению составляющие, несколько невыпуклых
функций также нашли применение, например,
`
p
-квазинорма с
p <
1
J
2
=
k
x
k
p
p
=
X
i
|
x
i
|
p
обеспечивает более сильную концентрацию
энергии в восстановленном решении. Свойство сильной концентра-
ции энергии делает
`
1
- и
`
p
-регуляризации очень удобными для вос-
становления некорректных сигналов. Существуют и другие методы
регуляризации [12].
Выбор подходящего алгоритма регуляризации зависит от конкрет-
ной задачи. Во многих математических обратных задачах выбор дела-
ется на основе ограничений различных видов, связанных с гладкостью
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 3
