базисы включают в себя конкатенацию нескольких ортогональных ба-
зисов, например стандартный базис и базис Фурье, которые могут не-
корректно представлять суперпозиции непрерывных синусоид и явле-
ние локальных всплесков. Другая возможность — это использование
одного расширенного неортогонального базиса, такого как базис Фу-
рье с числом рассматриваемых частот, превышающим размерность
пространства. Переопределенный базис Фурье позволяет некорректно
представить гармоники с частотами, лежащими между стандартными
частотами Фурье.
Для построения переопределенного базиса следует оценить число
источников в зарегистрированном сигнале по алгоритмам, описанным
в работах [2, 12, 13].
При использовании переопределенных базисов теряется очень важ-
ное свойство — уникальность представления. Для восстановления уни-
кальности ищется наиболее некорректное решение среди множества
возможных решений. Математически при отсутствии шума задача
формулируется так: дан сигнал
y
2
C
M
и переопределенный базис
T
2
C
M
×
N
; необходимо найти
x
2
C
N
, такой, что
y = Tx
и вектор
x
— некорректен. Определим
k
x
k
0
0
как число ненулевых элементов
x
.
Необходимо найти минимум
k
x
k
0
0
при условии
y = Tx
, что является
сложной комбинаторной задачей. Можно показать, что при некоторых
условиях, накладываемых на
T
и
x
, оптимальное решение данной
проблемы может быть найдено точно при помощи решения связанной
задачи: найти
min
k
x
k
p
p
при условии
y = Tx
, где
0
< p
6
1
(отдельно
рассматриваются случай
p
= 1
и общий случай
0
< p
6
1)
.
Естественное расширение для практического применения — доба-
вление белого гауссовского шума
n
, т.е.
y = Tx + n
.
(9)
Уравнение (9) может быть решено следующим образом [18, 19]:
min
k
y
−
Tx
k
2
2
+
λ
k
x
k
p
p
.
(10)
Априорная часть
J
2
(x)
оказывает эффект принудительной регу-
ляризации. На рис. 2 показано, почему
`
p
-регуляризация при
p
6
1
лучше обеспечивает некорректное представление
x
. На графике (
б
)
— значения
`
p
-нормы для
p
-й степени (
k
x
k
p
p
)
для
p
= 0
,
5
,
p
= 1
и
p
= 2
двумерного вектора. По сравнению с фиксированной
`
2
-нормой,
т.е. всеми векторами, которые лежат на окружности с фиксирован-
ным радиусом,
`
p
-нормы при
p
6
1
являются минимизированными на
координатных осях, т.е. соответствуют тому, что некоторые коэффи-
циенты равны нулю, в то время как другие имеют больш´ие значения.
Данное утверждение может быть обобщено на векторы больших раз-
мерностей. График (
а
) показывает
`
p
-нормы для тех же значений
p
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 3
