или энергией, а в качестве соответствующих регуляризующих функ-
ций используются
`
2
-нормы
x
или его производных.
Априорная некорректность удобна при поиске некорректных сиг-
налов
x
. Некорректность вектора
x
определяется как наличие в нем
небольшого числа больших по значению элементов и равенство нулю
остальных элементов. Важной линейной обратной задачей, для реше-
ния которой хорошо подходит априорная некорректность, является за-
дача представления сигнала при помощи переопределенных базисов.
Их основой являются работы Маллата [15], Донохо [16], Рао [17] и
других, касающиеся аппроксимации функций и оптимального выбора
базиса.
В течение последнего десятилетия задаче выбора подходящего ба-
зиса для семейства сигналов было уделено много внимания и введено
множество новых базисов, таких как wavelets-базис, ridgelets-базис,
curvelets-базис и многие другие. Несмотря на то, что посредством лю-
бого базиса, определенного на интервале в конечномерном простран-
стве, можно хорошо представить любой сигнал из данного простран-
ства, тем не менее для конкретных задач некоторые базисы обладают
лучшими аппроксимационными свойствами, чем какие-либо другие.
Практические задачи, в которых выгодно некорректное предста-
вление, — это задачи сжатия, фильтрации помех и параметрического
оценивания. В задачах сжатия для передачи информации (если пред-
ставление сигнала не является некорректным) необходимо передавать
весь сигнал. Однако, если при помощи замены базиса представле-
ние стало некорректным, возможна реальная экономия. Большинство
коэффициентов разложения очень мало (по определению некоррект-
ности) и, если им присваиваются нулевые значения, качество восприя-
тия сигнала уменьшается незначительно. Таким образом, для передачи
остаются только большие по значению коэффициенты, число которых
мало. Эта идея нашла применение в коммерческих алгоритмах сжа-
тия. Другая задача, в которой некорректность играет ключевую роль,
— это фильтрация помех. Если сигнал некорректен, то отделение его от
помех требует значительно меньших усилий, по сравнению с ситуаци-
ей, когда мощность сигнала равномерно распределена по всей полосе
сигнала. Следовательно, чтобы облегчить фильтрацию помех для клас-
са сигналов, необходимо найти базис, в котором представление всех
сигналов, принадлежащих к данному классу, настолько некорректно,
насколько это возможно.
Число некорректно представимых сигналов непосредственно за-
висит от числа элементов в базисе. Все минимальные базисы имеют
одинаковое число некорректно представимых сигналов. В целях уве-
личения числа сигналов, имеющих некорректное представление, ис-
пользуются переопределенные базисы. Некоторые переопределенные
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 3
11
