чиной
k =
ω
0
α
. Предположение о том, что сигнал узкополосный,
позволяет не учитывать задержку
k
T
p
в показателе экспоненты рас-
пространения сигнала
u
(
t
)
между детекторами; она имеет место
только при модуляции. Комплексная огибающая выхода детекто-
ра
m
(т.е. выход после демодуляции) может быть записана так:
y
m
(
t
) =
u
(
t
−
τ
center
) exp(
−
j
(
ω
0
τ
center
+ k
T
p))
. Если измерять время
относительно момента поступления сигнала в фазовый центр, зависи-
мость от
τ
center
можно не учитывать. Таким образом, для единичного
излучателя, комплексная огибающая выходов детекторов может быть
записана как
y (
t
) = a (
θ
)
u
(
t
)
. Вектор
a (
θ
) = exp
−
j
k
T
p
включа-
ет в себя информацию о фазовой задержке для излучателя, пеленг
которого равен
θ
. Параметризация вектора
a (
θ
)
по
θ
может быть
выполнена, так как
k
T
p
m
=
−
(
ω
0
/c
) (
m
−
(
M
+ 1)
/
2)
d
cos
θ
.
Поскольку система линейна, применим принцип суперпозиции, то-
гда модель для
K
узкополосных сигналов с одинаковой несущей ча-
стотой может быть записана как
y (
t
) = A (
θ
) u (
t
)
. Матрица
A (
θ
)
раз-
мерности
M
×
K
состоит из векторов
a (
θ
)
для различных излучателей,
входящих в нее в качестве столбцов:
A (
θ
) = [a(
θ
1
)
,
a(
θ
2
)
, . . . ,
a(
θ
K
)]
.
Вектор сигнала детектора
y (
t
)
— это вектор-столбец,
m
-м элементом
которого является
y
m
(
t
)
, и аналогично
u (
t
)
— это вектор-столбец, со-
стоящий из сигналов
u
k
(
t
)
, получаемых от всех
K
излучателей. Век-
тор
θ
состоит из пеленгов всех
K
излучателей:
θ
=
θ
1
, . . . , θ
K
T
.
Принимая во внимание неизбежное присутствие помех и дискретизуя
сигналы, получаем окончательный вариант модели:
y (
t
) = A (
θ
) u (
t
) + n (
t
)
, t
2 {
1
, . . . , L
}
.
(1)
Для простоты предполагаем, что помехи являются постоянным в
пространстве и времени белым шумом, некоррелирующим с излуча-
телями и являющимся кругообразно симметричным. Ковариацион-
ная матрица принимает следующий вид: математическое ожидание
E
[n (
t
1
) n
T
(
t
2
)] =
σ
2
I
δ
(
t
1
−
t
2
)
, где
δ
()
— кронекеровская дельта-
функция,
I
— единичная матрица. Кругообразная симметрия помех
приводит к тому, что
E
[n (
t
1
) n
T
(
t
2
)] = 0
.
В случае, когда излучатели находятся на небольшом расстоя-
нии от набора детекторов, решение сферического волнового урав-
нения на расстоянии
r
от единичного источника
f
(
t
)
имеет вид
f
(
r, t
) = (1
/r
)
f
(
t
−
r/c
)
. Кроме того, поскольку узкополосный сигнал
может быть записан как
f
(
t
) =
u
(
t
) exp (
jω
0
t
)
, комплексная огиба-
ющая выхода набора детекторов принимает вид
(1
/r
m
)
u
(
t
−
r
m
/c
)
×
×
exp(
−
j
(
ω
0
r
m
/c
))
. Здесь
r
m
— расстояние от излучателя до
m
-го
детектора. Пусть
r
c
— расстояние от излучателя до фазового цен-
тра массива, а
p
m
— местоположение
m
-го детектора. Принимая
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 3
5
