а на части
Γ
n
границы заданы естественные граничные условия
γ
ν
σ
|
Γ
n
=
f
g
, σ
ij
ν
j
|
Γ
n
=
f
g,i
,
где
γ
ν
σ
=
σν
=
{
σ
ij
ν
j
}
;
ν
=
{
ν
j
}
— внешняя нормаль к границе области.
МКСЭ может рассматриваться как обычный метод Галерки-
на–Бубнова с использованием специальных базисных функций. Поэто-
му конечномерная задача может быть получена следующим образом.
Необходимо: 1) задать разбиение расчетной области на суперэлементе
(СЭ); 2) задать на границах СЭ граничные функции, аппроксимиру-
ющие следы решения на границах СЭ; 3) каждую такую граничную
функцию продолжить во внутренность СЭ решением исходного урав-
нения с указанной функцией как граничным условием первого рода,
для чего внутри каждого СЭ независимо ввести расчетную сетку
(см. [22, 23]) и использовать обычный метод конечных элементов
(см. [24, 25]); 4) систему линейных алгебраических уравнений для
определения узловых значений СЭ получить из условий, формально
совпадающих с условиями метода Галеркина–Бубнова с рассчитанны-
ми функциями в качестве базисных.
Отметим, что, так как для СЭ базисные функции рассчитываются
численно, то, вообще говоря, суперэлементы могут иметь произволь-
ную форму.
Естественным требованием при разбиении области на СЭ в случае
конкретной рассматриваемой задачи является расположение каждо-
го включения композита целиком внутри одного СЭ. Это означает,
что на границах СЭ упругие свойства среды не меняются, и, значит,
на границе СЭ решение является относительно гладким. Это позво-
ляет использовать для аппроксимации перемещений на границах СЭ
простейшие билинейные базисные граничные функции. Для расчета
решения внутри СЭ используется достаточно мелкая сетка для того,
чтобы описать особенности решения, в частности, на контактной гра-
нице между матрицей и включением.
В общем случае все СЭ могут быть разными, каждый СЭ и со-
ответствующее ему включение могут иметь разную форму и различ-
ные значения упругих параметров. В представленных расчетах все СЭ
имеют форму куба, включения могут иметь разную форму, упругие ко-
эффициенты матрицы и включения не меняются от СЭ к СЭ.
Программный комплекс.
Для решения поставленной задачи раз-
работан программно-вычислительный комплекс.
Комплекс имеет модульную структуру, обмен данными между
модулями организован с помощью файлов ввода-вывода. В состав
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 3
57
