сматриваемых материалов, формулируемая в терминах отсчетной (ла-
гранжевой) конфигурации
◦
K
в тензорной форме имеет следующий
вид [4]:
◦
r ∙
P =
0
, X
i
2
◦
V
;
(1)
det F = 1
, X
i
2
◦
V
;
(2)
V
T =
−
p
G
−
1
+
l
1
I
1
(C)E +
l
2
C;
(
3
)
P =
V
T
∙
F
т
;
(
4
)
G
−
1
= F
−
1
∙
F
−
1
т
, X
i
2
◦
V
∪
◦
Σ;
(
5
)
C =
1
2
(
◦
r
u +
◦
(
r
u)
т
+
◦
r
u
∙
(
◦
r
u)
т
)
, X
i
2
◦
V
∪
◦
Σ;
(6)
F = E + (
◦
r
u)
т
, X
i
2
◦
V
∪
◦
Σ;
(7)
P
∙
◦
n
= s
,
s =
−
p
e
◦
n
∙
F
−
1
, X
i
2
◦
Σ
p
;
(8)
u
∙
◦
n
= u
e
,
P
∙
b
α
= 0
, X
i
2
◦
Σ
u
,
(9)
где (1) — уравнение равновесия; (2) — уравнение несжимаемости; (3)
— уравнения состояния эластомерного материала; (4) — соотношения
между первым тензором напряжений Пиолы–Кирхгофа
P
и пятым
энергетическим тензором напряжений
V
T
[4]; (5) — соотношение меж-
ду правой обратной мерой деформации Коши–Грина
G
−
1
и градиентом
деформаций
F
; (6) и (7) — кинематические соотношения между пра-
вым тензором деформаций Коши–Грина
C
и градиентом деформаций
с одной стороны и градиентом вектора перемещений
◦
r
u
с другой
стороны.
Уравнения (8) и (9) представляют собой граничные условия на по-
верхности области
◦
Σ
. Рассматривается случай, когда на части границы
Σ
p
в актуальной конфигурации задано давление
p
e
, а на части границы
◦
Σ
u
заданы смешанные граничные условия: нормальное перемещение
u
e
и условие свободного скольжения;
◦
n
— вектор нормали к поверхности
◦
Σ
p
, а
b
α
,
α
= 1
,
2
— векторы в касательной плоскости, ортогональные
к
◦
n
,
s
— вектор поверхностных усилий. Предполагаем, что перехода
материальных точек с одной части границы на другую в актуальной
конфигурации не происходит.
В системе (1)–(9) также обозначено:
p
— гидростатическое давле-
ние;
ρ
=
const — плотность материала;
◦
r
=
◦
r
i
∂
∂X
i
— набла-оператор
70
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 3
