где обозначены
u
α
— физические компоненты вектора перемещений
u
:
˜
u
αβ
=
u
αβ
+
δ
αβ
a
u
α
,
u
αβ
=
1
H
α
∂u
β
∂X
α
−
u
α
H
α
H
β
∂H
α
∂X
β
,
a
u
α
=
1
H
α
3
X
γ
=1
u
γ
H
γ
∂H
α
∂X
γ
,
(13)
а также физические компоненты тензора деформаций и метрической
и обратной метрической матриц:
ε
αβ
=
1
2
3
X
α,β,γ
=1
(˜
u
αβ
+ ˜
u
βα
+ ˜
u
αγ
˜
u
βγ
)
,
(14)
g
αβ
=
δ
αβ
+ 2
ε
αβ
,
(15)
g
αβ
=
δ
αβ
(1 + 2
ε
ii
)
−
2
ε
αβ
+ 2
2
αij
2
βkl
ε
ik
ε
jl
.
(16)
Здесь
2
αij
— символы Леви-Чивиты (по повторяющимся латинским
индексам идет суммирование).
Компоненты
T
αβ
тензора
V
T
в базисе
e
α
совпадают с компонентами
истинного тензора напряжений
T
в физическом базисе актуальной
конфигурации [4] и на основании уравнений (3) имеют вид:
V
T =
3
X
α, β
=1
T
αβ
e
α
e
β
,
(17)
T
αβ
=
σ
αβ
−
pg
αβ
,
(18)
σ
αβ
=
l
1
ε
ii
δ
αβ
+ 2
l
2
ε
αβ
.
(19)
Подставляя выражения (13)–(19) в соотношения (10), (11), получа-
ем запись вариационных уравнений в физических компонентах:
3
X
α,β
=1
Z
◦
V
T
αβ
δε
αβ
d
◦
V
=
3
X
α
=1
Z
◦
Σ
s
α
δu
α
d
◦
Σ;
(20)
Z
◦
V
(det(
δ
αβ
+ 2
ε
αβ
)
−
1)
δp d
◦
V
= 0
.
(21)
Метод МКЭ для решения нелинейной осесимметричной зада-
чи.
Рассмотрим далее случай осесимметричных конструкций, тогда
в качестве Лагранжевых координат
X
i
удобно выбрать цилиндриче-
ские координаты:
X
1
=
r
,
X
2
=
z
,
X
3
=
θ
, причем
H
1
= 1
,
H
2
= 1
,
H
3
=
r
. Полагаем, что имеет место осесимметричное нагружение, т.е.
72
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 3
