[
A
]
4
×
4
=
l
1
+ 2
l
2
l
1
l
1
0
l
1
l
1
+ 2
l
2
l
1
0
l
1
l
1
l
1
+ 2
l
2
0
0
0
0 2
l
2
.
(30)
Вводим также столбец компонент обратной метрической матри-
цы
{
g
}
т
= (
g
11
, g
22
, g
33
, g
12
) = (
g
1
, g
2
, g
3
, g
4
)
, тогда соотношения (16)
можно записать в матричной форме:
{
g
}
=
{
I
0
}
+ 2 [
I
]
{
ε
}
,
(31)
где
{
I
0
}
т
= (1
,
1
,
1
,
0) ;
[
I
]
4
×
4
= [
E
0
]
4
×
4
+ [
R
]
4
×
4
;
[
E
0
]
4
×
4
=
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 0
0 0 0 0
.
(32)
Элементы
R
αβ
матрицы
[
R
]
зависят от деформаций и вычисляются
следующим образом:
R
αβ
=
4
X
γ
=1
R
γ
αβ
ε
γ
,
R
1
23
=
R
1
31
=
R
2
13
=
R
2
31
=
R
3
12
=
R
3
21
= 1
,
R
4
34
=
R
4
43
=
−
2
.
(33)
Все остальные элементы матриц
R
γ
αβ
, кроме указанных в (33), равны
нулю.
С помощью выражений (29) и (31) соотношение (18) можно также
записать в матричной форме:
{
T
}
=
{
σ
}−
p
{
g
}
= [
A
]([
B
]+[
B
a
B
])
{
q
}−
p
(
{
I
0
}
+2 [
I
] ([
B
]+[
a
B
])
{
q
}
)
.
(34)
Здесь
{
T
}
т
= (
T
11
, T
22
, T
33
, T
12
)
— координатный столбец напряжений.
Раскрывая детерминант в выражении (21), представим его следу-
ющим образом:
det(
δ
αβ
+ 2
ε
αβ
)
−
1 = 2
{
I
0
}
т
{
ε
}
+ 2
h
;
h
= 2(
ε
11
ε
22
+
ε
33
ε
11
+
ε
33
ε
22
−
ε
2
12
) + 4
ε
33
(
ε
11
ε
22
−
ε
2
12
)
.
(35)
Введем координатный столбец внешних усилий
{
S
}
= (
S
1
, S
2
) =
= (
s
r
, s
z
)
, где
s
r
, s
z
— компоненты вектора усилий
s
(см. (8)) на по-
верхности тела.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 3
75
