L
i
=
1
2
S
e
a
(
i
)
+
b
(
i
)
r
+
c
(
i
)
z
;
a
(1)
=
r
(2)
z
(3)
−
r
(3)
z
(2)
;
b
(1)
=
z
(2)
−
z
(3)
;
c
(1)
=
r
(3)
−
r
(2)
;
2
S
e
=
b
(1)
c
(2)
−
b
(2)
c
(1)
,
(24)
а
r
(
i
)
, z
(
i
)
— координаты вершин треугольника. Остальные коэффи-
циенты
a
(
i
)
, b
(
i
)
, c
(
i
)
получаются с помощью круговой перестановки
индексов;
S
e
— площадь КЭ.
Координатный столбец деформаций
{
ε
}
т
= (
ε
11
, ε
22
, ε
33
, ε
12
) =
= (
ε
rr
, ε
zz
, ε
θθ
, ε
rz
)
представим в виде суммы линейной и нелинейной
частей:
{
ε
}
=
{
◦
ε
}
+
{
a
ε
}
= ([
B
] + [
a
B
] + [ ˜
B
])
{
q
}
,
(25)
где матрица
[
B
]
имеет вид:
[
B
]
4
×
12
= [
{
B
(1)
}
, . . . ,
{
B
(
χ
)
}
, . . . ,
{
B
(12)
}
]
,
{
B
(
χ
)
}
4
т
= (
L
χ
11
, L
χ
22
, L
χ
33
,
(
L
χ
12
+
L
χ
21
)
/
2)
,
L
χ
αβ
=
1
H
α
∂
Ф
βχ
∂X
α
−
Φ
αχ
H
α
H
β
∂H
α
∂X
β
+
+
δ
αβ
3
X
γ
=1
Φ
γχ
H
α
H
γ
∂H
α
∂X
γ
, χ
= 1
. . .
12
, α, β
= 1
,
2
,
(26)
а элементы матриц
[
a
B
]
и
[ ˜
B
]
вычисляются по следующей формуле:
a
B
ωχ
=
12
X
ρ
=1
H
χρ
ω
q
ρ
;
˜
B
ωχ
=
12
X
ρ
=1
H
ρχ
ω
q
ρ
;
H
χρ
ω
=
1
2
12
X
γ
=1
L
χ
αγ
L
ρ
βγ
,
(27)
где
χ, ρ
= 1
. . .
12
,
ω
= 1
. . .
4
(значениям индекса
ω
= 1
. . .
4
соответ-
свуют сочетания пар индексов
(
α, β
) = (1
,
1)(2
,
2)(3
,
3)(1
,
2))
.
Вариации компонент вектора перемещений и тензора деформаций,
а также гидростатического давления
p
с помощью соотношений (22)
и (25) представляем в виде
δ
{
u
}
= [Φ]
δ
{
q
}
, δp
=
{
Φ
p
}
т
δ
{
y
}
, δ
{
ε
}
= ([
B
]+[
a
B
]+[ ˜
B
])
δ
{
q
}
.
(28)
Вводим координатный столбец
{
σ
}
т
= (
σ
11
, σ
22
, σ
33
, σ
12
) =
= (
σ
rr
, σ
zz
, σ
θθ
, σ
rz
)
, который на основании определяющего соотно-
шения (19) связан с координатным столбцом деформаций линейным
соотношением
{
σ
}
4
= [
A
]
4
×
4
{
ε
}
4
,
(29)
где
[
A
]
— матрица модулей упругости изотропного материала [10]:
74
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 3
