в отсчетной конфигурации;
∙
и — знаки скалярного и тензорного
произведений [10];
◦
r
i
— локальные векторы взаимного базиса в
◦
K
;
X
i
— лагранжевы координаты;
◦
V
— область в
◦
K
, занятая рассматривае-
мым элементом конструкции;
◦
Σ
— граница области
◦
V
;
E
— метриче-
ский тензор;
u
— вектор перемещений;
l
1
, l
2
— константы материала;
I
1
(C) = C
..
E
— первый инвариант тензора [10]. Методика опреде-
ления материальных констант
l
1
, l
2
, а также примеры ее реализации
рассмотрены в [5, 6]
Подставляя соотношения (6)–(7) в определяющие соотношения
(3)–(5), а те в свою очередь — в уравнения (1), (2) и граничные условия
(8), (9), получаем постановку задачи нелинейной теории упругости
с большими деформациями, состоящую из 4 скалярных уравнений
относительно 4 неизвестных функций:
u
и
p
.
Вариационная формулировка.
Вариационная формулировка за-
дачи (1)–(9) состоит из двух вариационных уравнений и имеет следу-
ющий вид:
Z
◦
V
V
T
∙ ∙
◦
r
δ
C
d
◦
V
=
Z
◦
Σ
s
∙
δ
u
d
◦
Σ
,
(10)
Z
◦
V
(det G
−
1)
δpd
◦
V
= 0
.
(11)
Здесь
u
— вектор кинематически допустимых перемещений, т.е. удо-
влетворяющих граничным условиям (9) для перемещений, а
δ
u
— век-
тор возможных перемещений, удовлетворяющий нулевым граничным
условиям (9):
δ
u
∙
◦
n
= 0
,
X
i
2
◦
Σ
u
.
Запись в физических компонентах.
Запишем уравнения (1)–(9)
в физическом базисе
e
α
=
◦
r
α
/H
α
, где
H
α
— параметры Ламе [10].
Компоненты вектора перемещений
u
, градиента вектора перемещений
◦
r
u
, тензора деформаций
C
, меры деформаций
G
и обратной меры
деформаций
G
−
1
в базисе
e
α
имеют вид:
C =
3
X
α,β
=1
ε
αβ
e
α
e
β
,
G =
3
X
α,β
=1
g
αβ
e
α
e
β
,
G
−
1
=
3
X
α,β
=1
g
αβ
e
α
e
β
,
u =
3
X
α,β
=1
u
α
e
α
,
◦
r
u =
3
X
α,β
=1
u
αβ
e
α
e
β
,
(12)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 3
71
