где
l >
1
, } >
1
, который равномерно и абсолютно сходится при
R
≤
1
, то функция
Ω
N
(
w, z
)
по абсолютной величине может быть
сделана меньше любого наперед заданного положительного числа при
достаточно большом
N
.
Далее, переходя к пределу в ряде (16) при
R
→
1
и учитывая
формулы (14), (15), получим, что Re
Ω =
ω
на границе
∂
D.
Теорема 1.
Для разрешимости задачи Дирихле в классе бигармони-
ческих функций внутри единичного шара
D
=
{
(
w, z
) :
|
w
|
2
+
|
z
|
2
<
1
}
по краевому условию (3), заданному на всей топологической трехмер-
ной границе
∂
D, необходимо и достаточно, чтобы правая часть
ω
условия (3) удовлетворяла условиям
(14)
,
(15) (
или
(10)
,
(13))
.
Условия
теоремы 1
означают ортогональность правой части
ω
гра-
ничного соотношения (3) бесконечному (счетному) числу элементар-
ных функций. Пользуясь терминологией, установившейся в теории
краевых задач, мы можем сказать, что рассматриваемая задача Ди-
рихле имеет дефективные числа
`
= 0
,
`
0
=
∞
, индекс
χ
=
−∞
.
Заметим, что от предположений гладкости функции
ω
легко изба-
виться. Действительно, равномерно приближая непрерывную функ-
цию
ω
на границе
∂
D некоторой последовательностью функций с
указанными свойствами гладкости и используя принцип максимума
модуля для функции
Ω (
w, z
)
, получим, что интеграл
(17
0
)
дает реше-
ние задачи (3), если функция
ω
только непрерывна и удовлетворяет
условиям (14), (15).
Аналогично вторая задача Дирихле (4) разрешима тогда и только
тогда, когда функция
γ
1
=
γ e
ω
1
удовлетворяет условиям
π/
2
Z
0
2
π
Z
0
2
π
Z
0
γ
(
ϕ, ψ, θ
)
e
ω
1
(
ϕ,ψ,θ
)
(cos
θ
)
m
+1
(sin
θ
)
n
+1
dθdϕdψ
= 0
,
π/
2
Z
0
2
π
Z
0
2
π
Z
0
γe
ω
1
e
i
(
mϕ
±
nψ
)
T
0
mnk
(
θ
)
dθdϕdψ
= 0
,
π/
2
Z
0
2
π
Z
0
2
π
Z
0
γe
ω
1
e
i
(
mϕ
±
nψ
)
T
00
mnk
(
θ
)
dθdϕdψ
= 0
,
(18)
причем решение ее представлено в виде
40
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
