Покажем на примере единичного шара
D
= (
w, z
) :
|
w
|
2
+
|
z
|
2
<
1
,
что задача (1) по своему характеру существенно отличается от клас-
сического случая задачи для одной комплексной переменной.
Введем на трехмерной сфере
∂D
= (
τ, η
) :
|
τ
|
2
+
|
η
|
2
= 1
систему координат
(
ϕ, ψ, θ
)
,
положив
τ
= cos
θ e
iϕ
, η
= sin
θ e
iψ
,
0
≤
ϕ, ψ
≤
2
π,
0
≤
θ
≤
π
2
.
(2)
Внутренние точки параллелепипеда
Y
: 0
≤
ϕ, ψ
≤
2
π,
0
≤
θ
≤
π
2
посредством формул (2) взаимно-однозначно отображаются на неко-
торое подмножество полной меры на единичной трехмерной сфере
∂D
.
Будем рассматриваемые ниже функции, заданные на сфере
∂D
,
выражать как функции параметров
ϕ, ψ, θ.
Как и в случае одного комплексного переменного, будем предпола-
гать, что непрерывная функция
λ
=
α
+
iβ
не обращается в нуль ни в
одной точке сферы
∂D
. Тогда можно считать, что всюду на
∂D
|
λ
|
= 1
.
Функция
t
=
λ
осуществляет непрерывное отображение трехмерной
сферы
∂D
в окружность, и поскольку группа
π
3
(
}
1
)
тривиальна, то
функцию
λ
можно представить в виде
λ
=
e
iω
, где
ω
— однозначная и
непрерывная на
∂D
функция.
Как было показано И.Н. Векуа [1], задача (1) в случае одной ком-
плексной переменной эквивалентна последовательному решению двух
задач Дирихле для гармонических функций. В рассматриваемом слу-
чае этот факт тоже имеет место, однако задача Дирихле ставится на
этот раз в классе вещественных частей голоморфных функций двух
комплексных переменных (такие функции называют плюригармони-
ческими, а в случае двух действительных переменных — бигармони-
ческими), непрерывных в замкнутой области
D
+
∂D.
В самом деле, предположим, что
Ω (
w, z
) =
ω
1
+
iω
2
— голоморфная
функция внутри единичного шара
D
, удовлетворяющая условию
Re
Ω =
ω
(
на границе
∂D
)
.
(3)
32
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
