α
mn
(
θ
) =
1
π
2
2
π
Z
0
2
π
Z
0
ω
(
ϕ, ψ, θ
) cos
mϕ
cos
nψdϕdψ,
β
mn
(
θ
) =
1
π
2
2
π
Z
0
2
π
Z
0
ω
(
ϕ, ψ, θ
) sin
mϕ
sin
nψdϕdψ,
γ
mn
(
θ
) =
1
π
2
2
π
Z
0
2
π
Z
0
ω
(
ϕ, ψ, θ
) sin
mϕ
cos
nψdϕdψ,
δ
mn
(
θ
) =
1
π
2
2
π
Z
0
2
π
Z
0
ω
(
ϕ, ψ, θ
) sin
nψ
cos
mϕdϕdψ.
(6)
Для этого достаточными условиями являются, например, следую-
щие: функции
ω
,
ω
ϕ
,
ω
ψ
— однозначны и непрерывны на сфере, а сме-
шанная производная
ω
ϕψ
(
ω
ψϕ
)
существует (в обобщенном смысле) и
равномерна по
θ
:
2
π
Z
0
2
π
Z
0
|
ω
ϕψ
|
2
dϕdψ <
∞
.
(7)
Выражая коэффициенты Фурье
ω
через коэффициенты Фурье
функции
ω
ϕψ
путем интегрирования по частям формул (6) и учитывая
соотношение (7), получим (равномерно по
θ
)
∞
X
m,n
=0
m
2
n
2
(
|
α
mn
(
θ
)
|
2
+
|
β
mn
(
θ
)
|
2
+
|
γ
mn
(
θ
)
|
2
+
|
δ
mn
(
θ
)
|
2
)
<
∞
.
(7
0
)
Предположим теперь, что задача (3) имеет решение
Ω (
w, z
)
. Функ-
цию
Ω (
w, z
)
, голоморфную в области
D
, можно разложить в двойной
степенной ряд
Ω(
w, z
) =
∞
X
m,n
=0
r
(
m
+
n
+ 1)!
m
!
n
!
C
mn
W
m
Z
n
=
=
∞
X
m,n
=0
r
(
m
+
n
+ 1)!
m
!
n
!
C
mn
R
m
+
n
cos
m
θ
sin
n
θ e
i
(
mϕ
+
nψ
)
,
(8)
где
w
=
R
cos
θ e
iφ
,
z
=
R
sin
θ e
iψ
,
0
< R <
1
, а числа
C
mn
=
a
mn
−
ib
mn
во всяком случае удовлетворяют условию
∞
X
m,n
=0
|
C
mn
|
2
<
∞
.
34
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
