Отсюда получаем
Re
Ω(
w, z
) =
∞
X
m,n
=0
[
a
mn
cos(
mϕ
+
nψ
) +
b
mn
sin(
mϕ
+
nψ
)]
×
×
r
(
m
+
n
+ 1)!
m
!
n
!
R
m
+
n
cos
m
θ
sin
n
θ.
(9)
Сравнивая теперь разложения (5) и (9) на границе
∂D
, имеем
λ
mn
(
θ
) =
−
β
mn
(
θ
)
, γ
mn
(
θ
) =
δ
mn
(
θ
)
,
где
m, n
= 1
,
2
, . . . ,
(10)
a
00
=
1
4
α
00
,
√
m
+ 1
a
m,
0
cos
m
θ
=
1
2
α
m,
0
,
√
m
+1
b
m,
0
cos
m
θ
=
1
2
γ
m,
0
,
√
n
+ 1
a
0
,n
sin
n
θ
=
1
2
α
0
,n
,
√
n
+ 1
b
0
,n
sin
n
θ
=
1
2
δ
0
,n
,
r
(
m
+
n
+ 1)!
m
!
n
!
a
mn
cos
m
θ
sin
n
θ
=
α
mn
=
−
β
mn
,
r
(
m
+
n
+ 1)!
m
!
n
!
b
mn
cos
m
θ
sin
n
θ
=
γ
mn
=
δ
mn
.
(11)
Умножая последние два равенства из соотношений (11) на
cos
m
+1
θ
sin
n
+1
θ
, интегрируя от 0 до
π
/2 и учитывая, что
π
2
Z
0
cos
2
m
+1
θ
sin
2
n
+1
θdθ
=
1
2
m
!
n
!
(
m
+
n
+ 1)!
,
получим
a
mn
= 2
r
(
m
+
n
+ 1)!
m
!
n
!
π
2
Z
0
α
mn
(
θ
) cos
m
+1
θ
sin
n
+1
θ dθ,
a
mn
=
−
2
r
(
m
+
n
+ 1)!
m
!
n
!
π
2
Z
0
β
mn
(
θ
) cos
m
+1
θ
sin
n
+1
θ dθ,
b
mn
= 2
r
(
m
+
n
+ 1)!
m
!
n
!
π
2
Z
0
γ
mn
(
θ
) cos
m
+1
θ
sin
n
+1
θ dθ,
b
mn
= 2
r
(
m
+
n
+ 1)!
m
!
n
!
π
2
Z
0
δ
mn
(
θ
) cos
m
+1
θ
sin
n
+1
θ dθ.
(12)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
35
