УДК 512.562
Г. Л. Л у к а н к и н, И. Г. Т а б а к о в а
ОБ ОДНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧЕ
ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ
Исследована задача линейного сопряжения голоморфных функций
двух комплексных переменных для единичного шара. Показано, что
поставленная задача существенно отличается от случая функции
одной переменной.
Теория краевых задач для голоморфных функций возникла в трудах
классиков математики Б. Римана, Д. Гильберта, А. Пуанкаре. Она была
существенно продвинута работами Ф. Нетера, Т. Карлемана, Племела.
Дальнейшее развитие этой теории в основном связано с именами рос-
сийских математиков И.Н. Векуа [1], Ф.Д. Гахова [4], И.И. Привалова,
И.И. Векуа, Г.Л. Луканкина [7, 8], С.Ю. Колягина.
Большой интерес к этим задачам объясняется тем, что их изуче-
ние, кроме определенного самостоятельного интереса, имеет важное
значение для других разделов математики. К ним приводятся многие
плоские задачи механики и математической физики. Сингулярные ин-
тегральные уравнения с ядрами Коши также тесно связаны с краевыми
задачами для голоморфных функций.
В настоящей статье исследуется задача линейного сопряжения для
единичного шара.
Новизна данной работы состоит в том, что задача линейного со-
пряжения поставлена и решена для голоморфных функций двух ком-
плексных переменных. Краевое условие задачи задается на всей то-
пологической (трехмерной) границе. Для решения задачи был исполь-
зован метод И.Н. Векуа, который позволил свести задачу линейного
сопряжения к двум задачам Дирихле в классе действительных частей
голоморфных функций двух комплексных переменных. Показано, что
эта задача существенно отличается от задачи для случая функции од-
ной комплексной переменной.
Постановка и решение задачи линейного сопряжения.
Рассма-
тривается область
D
в пространстве
С
2
двух комплексных перемен-
ных
w, z
, и на ее топологической трехмерной границе
∂D
задаются
три вещественные непрерывные функции
α
,
β
,
γ
. Требуется отыскать
функцию
f
(
w, z
)
≡
u
+
iv
, голоморфную внутри
D
, которая на границе
∂D
удовлетворяла бы условию
Re
ˉ
λf
≡
αu
+
βv
=
γ,
λ
=
α
+
iβ
(
на
∂D
)
.
(1)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
31
