Тогда условие (1) можно переписать в виде
Re
ˉ
λf
=
Re
e
−
iω
f
=
Re
e
−
i
(
ω
+
iω
1
)
e
−
ω
1
f
=
γ,
откуда следует, что для новой, голоморфной в этой же области, функ-
ции
F
=
f
exp
{−
i
Ω
}
достаточно решить еще одну задачу Дирихле
Re
F
=
e
ω
1
γ
≡
γ
1
(
на
∂D
)
(4)
в классе бигармонических функций. После этого решение задачи (1)
представляется формулой
f
=
F
exp
{
i
Ω
}
.
Отсюда, в частности, следует, что однородная задача (1) (при
γ
≡
0
)
имеет над полем вещественных чисел одно линейное независимое
решение
f
=
i
exp
{
i
Ω
}
.
Класс бигармонических функций в пространстве четырех веще-
ственных переменных ´уже класса гармонических функций от тех же
переменных. Поэтому, в отличие от задачи Дирихле для уравнения
Лапласа, задача (3), вообще говоря, неразрешима.
Чтобы выяснить необходимые и достаточные условия разрешимо-
сти задачи вида (3), воспользуемся разложением
Ω (
w, z
)
в степенной
ряд и разложением функции
ω
в ряд Фурье.
Предположим, что при каждом фиксированном
θ
функцию
ω
мож-
но разложить в равномерно сходящийся ряд Фурье:
ω
(
ϕ, ψ, θ
) =
∞
X
m,n
=0
λ
mn
h
α
mn
(
θ
) cos
mϕ
cos
nψ
+
β
mn
(
θ
) sin
mϕ
sin
nψ
+
+
γ
mn
(
θ
) sin
mϕ
cos
nψ
+
δ
mn
(
θ
) sin
nψ
cos
mϕ
i
,
(5)
где
λ
mn
=
1
/
4
при
m
=
n
= 0
,
1
/
2
при
m
= 0
, n >
0
или
n
= 0
, m >
0
,
1
при
m >
0
, n >
0
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
33
