=
1
2
π
2
π/
2
Z
0
2
π
Z
0
2
π
Z
0
ω
(
ϕ
0
, ψ
0
, θ
0
)
×
×
2
(1
−
R
cos
θ
0
cos
θe
i
(
ϕ
−
ϕ
0
)
−
R
sin
θ
0
sin
θ e
i
(
ψ
−
ψ
0
)
)
2
−
1
×
×
cos
θ
0
sin
θ
0
dθ
0
dϕ
0
dψ
0
−
ib
0
,
0
.
(17)
Интегральное представление (17) перепишем в виде
Ω(
w, z
)=
1
(2
πi
)
2
π
2
Z
0
d
cos
2
θ
Z
Δ
|
τ
|
,
|
θ
|
ω
(
τ, η
)
2
(1
−
w
ˉ
τ
−
z
ˉ
η
)
2
−
1
dτ
τ
∧
dη
η
+
iβ
0
,
(
17
0
)
где
ω
(
τ, η
)
≡
ω
(
φ, ψ, θ
)
,
b
0
,
0
=
−
β
0
=
const
.
Эта формула представляет собой аналог интеграла Шварца.
Покажем теперь достаточность условий (14), (15). Для этого нам
нужно доказать, что интеграл (17
0
) или, что то же самое, ряд (16)
дает решение краевой задачи (3), то есть функция
Ω(
w, z
)
голоморфна
внутри шара, непрерывна в замкнутом шаре и удовлетворяет краевому
условию Re
Ω =
ω
на границе
∂
D. Голоморфность функции
Ω(
w, z
)
очевидна.
Ряд (16) представляет собой непрерывную функцию в замкнутой
области
D
+
∂D
. Действительно, оценивая остаток ряда (16), получим
|
Ω
n
(
w, z
)
| ≤
∞
X
m,n
=
N
(
m
+
n
+ 1)!
m
!
n
!
R
m
+
n
cos
m
θ
sin
n
θ
×
×
π/
2
Z
0
|
(
α
mn
−
β
mn
)
−
i
(
γ
mn
+
δ
mn
)
|
cos
m
+1
θ
(sin
θ
)
n
+1
dθ
≤
≤
∞
X
m,n
=
N
1
m
2
n
2
(
m
+
n
+ 1)!
m
!
n
!
R
2(
m
+
n
)
cos
2
m
θ
sin
2
n
θ
∞
X
m,n
=
N
4
m
2
n
2
×
×
π/
2
Z
0
(
|
α
mn
|
2
+
|
γ
mn
|
2
) cos
θ
sin
θdθ
(
m
+
n
+ 1)!
m
!
n
!
×
×
π/
2
Z
0
(cos
θ
)
2
m
+1
(sin
θ
)
2
n
+1
dθ
≤
38
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
