F
(
w, z
) =
−
1
4
π
2
π/
2
Z
0
d
cos
2
θ
Z
Δ
|
τ
|
,
|
η
|
γ
1
2
(1
−
w
ˉ
τ
−
z
ˉ
η
)
2
−
1
dτ
τ
∧
dη
η
+
iβ
0
0
,
(19)
где
F
(
w, z
) =
f
exp
{−
i
Ω
}
,
γ
1
=
γ e
ω
1
,
ω
1
=
Jm
Ω
.
Учитывая ранее сказанное, результаты анализа задач (3), (4), полу-
чаем теорему.
Теорема 2.
Пусть функция
ω
из представления
λ
=
e
iω
удовле-
творяет условиям
(14)
и
(15)
. Тогда, сформулированная однородная
задача линейного сопряжения
(1)
(при
γ
≡
0
) имеет одно линейно не-
зависимое (над полем вещественных чисел) решение, которое может
быть представлено по формуле
f
=
i
exp
{
i
Ω
}
.
(20)
Неоднородная задача имеет решение тогда и только тогда, когда
правая часть краевого условия ортогональна счетному числу элемен-
тарных функций и это решение представимо в виде
f
=
e
i
Ω
F,
(21)
где функции
Ω
и
F
представляются соответственно по формулам (17)
и (19). Число
`
≤
1
, индекс
χ
=
−∞
.
Таким образом, на примере единичного шара мы установили, что
рассматриваемая задача линейного сопряжения в пространстве
С
2
двух комплексных переменных имеет бесконечный индекс. Этот факт
является следствием того, что система Коши–Римана в рассматрива-
емом случае — переопределенная. Поэтому задание краевых условий
на всей топологической границе и могло привести к бесконечному
индексу.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. В е к у а И. Н. Об одной линейной граничной задаче Римана / Труды Тбилисск.
матем. ин-та АН ГССР. – 1942. – Т. 11, вып. 2. – С. 109–139.
2. В е к у а И. Н. Обобщенные аналитические функции. – М.: Наука, 1998. –
265 c.
3. В и н о г р а д о в а И. Н. О решении некоторых краевых задач / Сб. трудов
“Теория функций, функциональный анализ и их приложения” – M.: Изд-во
МОПИ им. Н.К. Крупской. – 1973. – Вып. 15. – С. 198–216.
4. В л а д и м и р о в В. С. Методы теории функций многих комплексных
переменных. – М.: Наука, 1964. – 365 с.
5. Г а х о в Ф. Д. Краевые задачи. – М.: Физматгиз, 1963. – 543 с.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
41
