в пространстве
C
2
комплексных переменных
w, z
, и на остове бици-
линдра
}
=
{
(
t, τ
) :
|
t
|
= 1
,
|
τ
|
= 1
}
задаются три вещественные непрерывные функции
α, β, γ.
Требуется
отыскать функцию
f
(
w, z
) =
u
+
iv
, голоморфную в области
D
и
непрерывную в
D
+
}
, которая на остове
}
области D удовлетворяла
бы условию
Re
ˉ
λf
=
αu
+
βv
=
γ, λ
=
α
+
iβ
(
на
}
)
.
(1)
Следует отметить, что в данном случае краевое условие задается не
на всей топологической (трехмерной) границе, а только на некоторой
ее двумерной части, а именно, на остове, который представляет собой
двумерный тор в пространстве комплексных переменных
w, z
.
Точки тора
}
описываются заданием пары угловых координат
(
ϕ, ψ
)
,
0
6
ϕ, ψ
6
2
π
, где
ϕ
= 0
отождествляется с
ϕ
= 2
π
, и точно
такое же отождествление производится для
ψ
. Таким образом имеем
(0
, ψ
) = (2
π, ψ
)
,
(
ϕ,
0) = (
ϕ,
2
π
)
.
Введем на торе
}
систему координат, положив
t
=
e
iϕ
, τ
=
e
iψ
,
0
6
ϕ, ψ
6
2
π.
Будем рассматриваемые далее функции, заданные на торе
}
, выра-
жать как функции параметров
(
ϕ, ψ
)
. Предположим, что непрерывная
функция
λ
не обращается в нуль ни в одной точке остова. Тогда можно
считать
|
λ
|
= 1
.
Вычислим интеграл
J
=
Z
С
dω,
где
C
— некоторый цикл на торе
}
. Когда
ϕ
меняется от
0
до
2
π
, точки
(
ϕ,
0)
описывают ориентированную замкнутую кривую
С
1
; подобным
же образом точки
(
ψ,
0)
описывают кривую
С
2
. Пусть
С
— некоторый
цикл на торе, то есть ориентированная замкнутая кривая. Как извест-
но, кривую
С
можно cдеформировать в ориентированную замкнутую
кривую
С
0
, которая
n
1
раз обходит кривую
С
1
, а затем
n
2
раз кривую
С
2
, где
n
1
и
n
2
— некоторые целые числа.
Заметим, далее, что
Z
C
dω
=
Z
C
0
dω.
32
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
