Обозначим
1
2
π
Z
C
1
dω
=
χ
1
,
1
2
π
Z
C
2
dω
=
χ
2
,
(2)
тогда получим
1
2
π
Z
C
dω
=
n
1
χ
1
+
n
2
χ
2
.
(3)
Следовательно, функцию
λ
можно представить в виде
λ
=
e
i
(
ω
−
χ
1
ϕ
−
χ
2
ψ
)
t
χ
1
τ
χ
2
=
t
χ
1
τ
χ
2
e
iω
1
,
где
ω
1
≡
ω
−
χ
1
ϕ
−
χ
2
ψ
— однозначная и непрерывная на
}
функция.
Согласно Векуа [5], задача (1) эквивалентна последовательному
решению двух задач Дирихле в классе бигармонических функций.
Предположим, что
Ω (
w, z
) =
ω
1
+
iω
2
— голоморфная функция внутри
единичного бицилиндра
D
, удовлетворяющая уравнению
Re
Ω =
ω
1
(
на
}
)
.
(4)
Тогда условие (1) можно переписать в следующем виде:
Re
ˉ
λf
=
Re
t
−
χ
1
τ
−
χ
2
e
−
iω
1
f
=
Re
h
e
−
i
Ω
t
−
χ
1
τ
−
χ
2
e
−
ω
2
f
i
=
γ.
Отсюда следует, что для новой, голоморфной в этой же области
функции
F
=
f
exp
{−
i
Ω
}
достаточно решить задачу
Re
t
−
χ
1
τ
−
χ
2
F
=
e
ω
2
γ
≡
γ
1
(
на
}
)
.
(5)
Для разрешимости задачи (4) необходимо и достаточно выполне-
ние условий
2
π
Z
0
2
π
Z
0
ω
1
(
ϕ, ψ
)
e
i
(
mϕ
−
nψ
)
dϕdψ
= 0
, m, n
= 1
,
2
. . . .
(6)
Тогда решение задачи (4) может быть найдено по формуле
Ω (
w, z
) =
1
(2
πi
)
2
Z
|
t
|
=1
Z
|
τ
|
=1
ω
(
t, τ
)
"
2
1
−
wt
(1
−
zτ
)
−
1
#
dt
t
∧
dτ
τ
+
ic,
(7)
где
c
— действительная постоянная.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
33
