Решение каждой из задач (19) при условии (20) найдем с помощью
интеграла Шварца:
f
(
w, z
k
) =
1
2
πi
Z
|
t
|
=1
γ
k
(
t
)
t
+
w
t
−
w
dt
t
.
(21)
Разлагая теперь обе части последнего равенства в степенной ряд и
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
w
, получим
f
0
(
z
k
) =
1
2
π
2
π
Z
0
γ
k
e
iϕ
dϕ,
f
m
(
z
k
) =
1
π
2
π
Z
0
γ
k
e
iϕ
e
−
imϕ
dϕ.
(22)
Таким образом, для каждой из функций
f
m
(
z
)
, голоморфных в кру-
ге
|
z
|
<
1
, оказываются заданными функциональные значения
f
m
(
z
k
)
в счетном числе точек
z
k
, таких, что
|
z
k
|
<
1
и бесконечное про-
изведение
∞
Y
k
=1
|
z
k
|
расходится, а эти условия однозначно определяют
голоморфную функцию в круге
|
z
|
<
1
. Для существования голоморф-
ной функции, принадлежащей классу
Н
2
и принимающей в указанных
точках заданные значения, необходимо и достаточно, чтобы
∞
X
k
=0
|
C
m
k
|
2
1
− |
z
k
+1
|
2
<
∞
,
(23)
где
C
m
k
— коэффициенты формального разложения, полученного ин-
терполяцией в точках
z
k
функциональных значений
f
m
(
z
k
)
:
f
m
(
z
) =
∞
X
j
=0
C
m
j
ω
j
(
z
);
(24)
здесь
ω
k
(
z
) =
1
1
−
ˉ
z
k
+1
z
k
Y
n
=0
z
−
z
n
1
−
ˉ
z
n
z
.
(25)
Полагая в формуле (24) последовательно
z
=
z
0
n
,
n
= 1
,
2
, . . . , k
+
+ 1
, получим систему линейных уравнений:
f
m
(
z
1
) =
C
m
0
ω
0
(
z
1
)
,
f
m
(
z
2
) =
C
m
0
ω
0
(
z
2
) +
C
m
1
ω
1
(
z
2
)
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f
m
(
z
k
+1
) =
C
m
0
ω
0
(
z
k
+1
) +
C
m
1
ω
1
(
z
k
+1
) +
...
+
C
m
k
ω
k
(
z
k
+1
)
,
(26)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
37
