Заметим, что условие (31) является необходимым и достаточным
для того, чтобы ряд
∞
X
m,k
=0
b
mk
w
m
z
k
сходился в области
D
.
Таким образом, доказано утверждение
Теорема 2.
Если выполнены условия
(29)
и
(31)
, то краевая за-
дача типа Дирихле
(19)
разрешима и имеет единственное решение,
которое может быть найдено по формуле
f
(
w, z
) =
∞
X
m
=0
∞
X
j
=0
1
π
2
π
Z
0
Γ
j
(
ϕ
)
e
−
imϕ
dϕ
ω
j
(
z
)
w
m
,
где
Γ
j
(
ϕ
) =
j
+1
X
k
=1
α
j
k
γ
k
e
iϕ
;
ω
j
(
z
) =
1
1
−
z
j
+1
z
j
Y
n
=0
z
−
z
n
1
−
z
n
z
.
Рассмотрим теперь задачу типа Римана–Гильберта
Re
h
λ
k
(
t
)
f
(
t, z
k
)
i
=
γ
k
(
t
) (
на
∂D
k
)
.
Как и в случае одной комплексной переменной, будем предпо-
лагать, что функции
λ
k
(
t
)
не обращаются в нуль ни в одной точке
контура
∂D
k
. Тогда можно считать, что
|
λ
k
(
t
)
|
= 1
на
∂D
. Для каждой
функции
f
(
w, z
k
)
, голоморфной в области
D
k
, имеем классическую
задачу Римана–Гильберта.
Краевые условия (16) можно преобразовать к виду
Re
e
−
i
Ω
k
(
t
)
t
−
χ
k
f
(
t, z
k
) =
γ
k
e
Jm
Ω
k
≡
γ
1
k
,
(32)
где
Ω
k
(
w
) =
1
2
πi
Z
|
t
|
=1
[arg
λ
k
(
t
)
−
χ
k
arg
t
]
t
+
w
t
−
w
dt
t
;
(33)
χ
k
=
1
2
π
[arg
λ
k
(
t
)]
∂D
k
.
(34)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
39
