Решение однородной задачи обозначим через
R
(
w, z
)
.
Теорема 1.
Пусть функция
ω
1
удовлетворяет условиям
(
6
)
. Тогда,
если
χ
1
>
0
,
χ
2
>
0
, однородная задача Римана–Гильберта
(
8
)
имеет
(2
χ
1
+ 1) (2
χ
2
+ 1)
−
2
χ
1
χ
2
— линейно независимых решений, которые
могут быть представлены формулой
f
(
w, z
) =
w
χ
1
z
χ
2
R
(
w, z
) exp
{
i
Ω
}
.
Неоднородная задача (5) имеет решение тогда и только тогда, когда
выполняются условия
2
π
Z
0
2
π
Z
0
γ e
ω
2
e
i
(
mϕ
−
nψ
)
dϕdψ
= 0
, m, n
= 1
,
2
, . . . ,
(12)
и ее решение представимо в виде
f
=
w
χ
1
z
χ
2
exp
{
i
Ω
}
[
F
+
R
]
,
где функция
Ω
определяется по формуле (7), а
F
(
w, z
) =
1
(2
π i
)
2
Z
|
t
|
=1
Z
|
τ
|
=1
γ e
ω
2
"
2
1
−
wt
(1
−
zτ
)
−
1
#
×
×
dt
t
∧
dτ
τ
+
i
с
;
(13)
(число
`
6
(2
χ
1
+ 1)(2
χ
2
+ 1)
−
2
χ
1
χ
2
, а индекс
χ
=
−∞
).
Если
χ
1
>
0
,
χ
2
>
0
, то однородная задача (8) неразрешима, т.е. не
имеет нетривиальных решений. Неоднородная задача (5) разрешима
тогда и только тогда, когда наряду с условиями (12) имеют место
равенства
c
= 0
,
2
π
Z
0
2
π
Z
0
γ e
ω
2
e
−
i
(
mϕ
+
nψ
)
dϕdψ
= 0
(14)
для тех
m
и
n
, для которых не выполняются одновременно неравенства
m
>
−
χ
1
,
n
>
χ
2
.
Если
χ
1
>
0
,
χ
2
<
0
, то однородная задача не имеет нетривиальных
решений. Неоднородная задача разрешима тогда и только тогда, когда
выполнены условия (12) и условия (14).
Таким образом, в рассмотренном случае, несмотря на то, что кра-
евое условие задавалось только на части границы, задача Римана–
Гильберта оказалась переопределенной.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
35
