Постановка и решение краевой задачи Римана–Гильберта для
заданной определяющей области с краевым условием на некото-
ром множестве одномерных кривых.
Пусть заданная определяющая
область
D
=
{
(
w, z
) :
|
w
|
<
1
,
|
z
|
<
1
}
– единичный бицилиндр в пространстве двух комплексных перемен-
ных. Требуется найти функцию
f
(
w, z
)
≡
u
+
iv
, голоморфную в
области
D
, предельные значения которой на кривых
∂D
k
=
{
(
t, z
) :
|
t
|
= 1
, z
=
z
k
=
const
,
|
z
k
|
<
1
, k
= 1
,
2
, . . .
}
(15)
удовлетворяют условиям
Re
h
λ
k
(
t
)
f
(
t, z
k
)
i
≡
α
k
(
t
)
u
(
t, z
k
) +
β
k
(
t
)
v
(
t, z
k
) =
γ
k
(
t
) ;
(16)
λ
k
(
t
) =
α
k
(
t
) +
iβ
k
(
t
)
,
где
α
k
(
t
)
,
β
k
(
t
)
,
γ
k
(
t
)
— вещественнозначные непрерывные на
∂D
k
функции, а бесконечное произведение
∞
Y
k
=1
|
z
k
|
расходится.
Заметим, что функцию
f
(
w, z
)
, голоморфную в области
D
, можно
разложить в ряд
f
(
w, z
) =
∞
X
m,n
=0
a
mn
w
m
z
n
=
∞
X
m
=0
f
m
(
z
)
w
m
,
(17)
где функции
f
m
(
z
)
голоморфны в круге
|
z
|
<1. Поэтому краевое усло-
вие (16) можно переписать в виде
Re
"
λ
k
(
t
)
∞
X
m
=0
f
m
(
z
k
)
w
m
#
=
γ
k
(
t
)
.
(18)
Рассмотрим частный случай задачи (16), когда
λ
k
(
t
)
≡
1
, т.е. задачу
Re
[
f
(
t, z
k
)] =
γ
k
(
t
)
.
(19)
Так как функции
f
(
w, z
k
)
голоморфны в областях
D
k
=
{
(
w, z
k
) :
|
w
|
<
1
, z
k
=
const
}
,
то для функции
f
(
w, z
)
мы имеем счетное число задач типа Дирихле.
Присоединим к граничным соотношениям (19) дополнительное усло-
вие
Jmf
(0
, z
k
) = 0
.
(20)
36
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
