— объемные доли мартенсита и аустенита в сплаве в зоне фазового
превращения,
χ
1
+
χ
2
= 1
.
Положим также, что
2
X
α
=1
Z
S
˜
q
α
T
α
dS
=
Z
S
˜
qTdS .
Тогда из условий минимума
2
X
α
=1
I
α
[
T
α
]
и
I
[
T
]
следует неравенство
λ
(
T
)
ij
6
2
X
α
=1
χ
α
α
λ
(
T
)
ij
.
Если в гетерогенном теле задано поле вектора плотности теплового
потока такое, что
α
q
i
=
q
i
= const
, α
= 1
,
2
,
то двойственные по
отношению к выражениям (1) функционалы имеют вид
J
α
[
α
q
] =
−
1
2
Z
V
χ
α
α
k
ij
α
q
j
α
q
i
dV
−
Z
S
T
α
α
q
i
n
i
dS ,
J
[
q
] =
−
1
2
Z
V
k
ij
q
j
q
i
dV
−
Z
S
T q
i
n
i
dS ,
(
2
)
где
α
k
ij
, k
ij
— компоненты тензоров термического сопротивления;
T
α
, T
— заданные на граничной поверхности
S
значения темпе-
ратуры. Из условий максимума
2
X
α
=1
J
α
[
α
q
]
и
J
[
q
]
следуют неравенства
k
ij
>
2
X
α
=1
χ
α
α
k
ij
,
а так как
(
k
ij
)
−
1
=
λ
(
T
)
ij
,
(
α
k
ij
)
−
1
=
α
λ
(
T
)
ij
,
то оконча-
тельно
2
X
α
=1
χ
α
α
λ
(
T
)
ij
>
λ
(
T
)
ij
>
2
X
α
=1
χ
α
α
λ
(
T
)
ij
−
1
!
−
1
.
(
3
)
Для изотропного гомогенного материала и гомогенных компонен-
тов из формулы (3) следуют неравенства
2
X
α
=1
χ
α
λ
(
T
)
α
>
λ
(
T
)
>
2
X
α
=1
χ
α
λ
(
T
)
α
!
−
1
,
(
4
)
в которых
α
λ
(
T
)
ij
=
λ
(
T
)
α
δ
ij
.
В неравенствах (3) и (4) верхние границы аналогичны соответству-
ющим оценкам по Фойгту, а нижние — по Рейссу в механике. Оценки
(3) и (4) компонентов тензора теплопроводности эквивалентной гомо-
генной среды далеки от свойств реального материала.
32
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
