где
a
α
= 1
/λ
(
T
)
α
, α
= 1
,
2
.
Очевидно, что оценка теплопроводности по неравенствам (10) да-
ет более узкий диапазон возможных значений
λ
(
T
)
по сравнению с
“вилкой” Хашина–Штрикмана.
Для оценки величины температурного коэффициента линейного
расширения
α
(
T
)
и удельной массовой теплоемкости при постоян-
ной деформации
c
ε
и напряжениях
c
σ
двухкомпонентной смеси вос-
пользуемся выражениями для средних по объему
V
представитель-
ного элемента значений объемной плотности свободной энергии
ρA
и термодинамического потенциала Гиббса
ρ
Φ
[2]:
1
V
Z
V
ρAdV
=
1
2
K
2
X
α
=1
χ
α
α
ε
kk
2
+
μ
2
X
α
=1
χ
α
α
e
ij
2
X
α
=1
χ
α
α
e
ij
−
−
3
K α
(
T
)
θ
2
X
α
=1
χ
α
α
ε
kk
−
c
ε
2
T
0
θ
2
,
1
V
Z
V
ρ
Φ
dV
=
1
18
K
2
X
α
=1
χ
α
α
σ
kk
!
2
+
1
4
μ
2
X
α
=1
χ
α
α
s
ij
!
2
X
α
=1
χ
α
α
s
ij
!
−
−
1
2
α
(
T
)
θ
2
X
α
=1
χ
α
α
σ
kk
−
c
σ
2
T
0
θ
2
,
(11)
где
K , μ , α
(
T
)
, c
ε
, c
σ
=
c
ε
+ 9
T
0
K α
(
T
)
2
/ρ
— эффективные свой-
ства смеси, находящейся в однородном поле температуры
θ
=
T
−
T
0
,
T
0
= const
,
|
T
−
T
0
|
/T
0
1
.
Следуя работе [2], сначала рассмотрим на границе
S
объема
V
граничное условие
σ
0
ij
n
j
=
p
0
i
= const
.
(
12
)
Полагая, что массовые силы отсутствуют, имеем
J
[ˆ
σ , θ
] =
I
[
u , θ
]
,
(
13
)
где
J
[ˆ
σ , θ
] =
−
Z
V
ρ
Φ
dV
−
Z
S
u
σ
ij
˜
u
i
dS
— дополнительная работа тела,
I
[
u , θ
] =
Z
V
ρAdV
−
Z
S
σ
p
0
i
u
i
dS
— полная потенциальная энергия тела.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
35
