Для получения более узких границ значений
λ
(
T
)
ij
рассмотрим
двухкомпонентный материал. Для средних по объему представитель-
ного элемента гетерогенного материала, а также для средних по объ-
ему компонентов материала значений
α
q
i
, ∂T
α
/∂x
i
справедливы со-
отношения
α
q
i
=
−
α
λ
(
T
)
ij
∂T
α
∂x
i
, q
i
=
χ
1
1
q
i
+
χ
2
2
q
i
,
∂T
∂x
i
=
χ
1
∂T
1
∂x
i
+
χ
2
∂T
2
∂x
i
,
(
5
)
где
α
= 1
,
2;
q
i
, ∂T/∂x
i
— средние значения компонентов векто-
ра плотности теплового потока и градиента температуры в объеме
представительного элемента. Соотношения (5) позволяют установить
связи
α
q
i
=
α
A
ij
q
j
,
∂T
α
∂x
i
=
α
D
ij
∂T
∂x
j
, χ
1
1
A
ij
+
χ
2
2
A
ij
=
δ
ij
, χ
1
1
D
ij
+
χ
2
2
D
ij
=
δ
ij
,
(
6
)
λ
(
T
)
ij
=
χ
1
1
λ
(
T
)
ik
1
D
kj
+
χ
2
2
λ
(
T
)
ik
2
D
kj
, k
ij
=
χ
1
1
k
ik
1
A
kj
+
χ
2
2
k
ik
2
A
kj
,
δ
ij
— символ Кронекера. Если
λ
(
T
)
ij
и
k
ij
известны, то тензоры с
компонентами
α
λ
(
T
)
ij
и
α
k
ij
определяются из соотношений
χ
α
α
λ
(
T
)
ik
−
ν
λ
(
T
)
ik
α
D
kj
=
λ
(
T
)
ij
−
ν
λ
(
T
)
ij
,
χ
α
α
k
ik
−
ν
k
ik
α
A
kj
=
k
ij
−
ν
k
ij
, α, ν
= 1
,
2
, α
6
=
ν .
(
7
)
Умножив первое из уравнений (7) на
∂T/∂x
j
,
а второе — на
q
j
,
с учетом равенств (6) получим
χ
α
α
λ
(
T
)
ij
−
ν
λ
(
T
)
ij
∂T
α
∂x
j
=
λ
(
T
)
ij
−
ν
λ
(
T
)
ij
∂T
∂x
j
,
χ
α
α
k
ij
−
ν
k
ij
α
q
j
=
k
ij
−
ν
k
ij
q
j
.
(
8
)
Если компоненты гетерогенного двухкомпонентного материала и
эквивалентного гомогенного материала изотропны, то из соотношений
(8) следуют равенства
χ
α
∂T
α
∂x
i
=
λ
(
T
)
−
λ
(
T
)
ν
λ
(
T
)
α
−
λ
(
T
)
ν
∂T
∂x
i
, χ
α
α
q
i
=
1
/λ
(
T
)
−
1
/λ
(
T
)
ν
1
/λ
(
T
)
α
−
1
/λ
(
T
)
ν
q
i
,
(
9
)
где учтено
k
α
= 1
/λ
(
T
)
α
, k
= 1
/λ
(
T
)
.
Аналог потенциальной энергии деформации рассматриваемого ге-
терогенного материала объемом
V
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 2
33
