Воспользовавшись преобразованием Лежандра
u
=
A
+
Th
, полу-
чим другую форму записи закона сохранения энергии:
ρ
∂A
∂ε
ij
˙
ε
ij
+
ρ
∂A
∂T
˙
T
+
ρ
∂A
∂ϑ
i
˙
ϑ
i
+
+
ρ
∂A
∂χ
˙
χ
+
ρ
˙
Th
+
ρT
˙
h
−
σ
ij
˙
ε
ij
+
∂q
i
∂x
i
−
ρr
= 0
.
(4)
Продифференцируем далее второе слагаемое в левой части нера-
венства (3), а затем умножим левую и правую части полученного не-
равенства на
T >
0
и вычтем из левой части неравенства левую часть
равенства (4):
−
ρ
∂A
∂ε
ij
−
σ
ij
˙
ε
ij
−
ρ
∂A
∂T
+
h
˙
T
−
−
ρ
∂A
∂ϑ
i
˙
ϑ
i
−
ρ
∂A
∂χ
˙
χ
−
1
T
∂T
∂x
i
q
i
≥
0
.
В силу произвольности
˙
ε
ij
,
˙
T
и
˙
ϑ
i
из последнего неравенства сле-
дуют достаточные условия его выполнения:
σ
ij
=
ρ
∂A
∂ε
ij
, h
=
−
∂A
∂T
,
∂A
∂ϑ
i
= 0
.
(
5
)
Второй закон термодинамики в этом случае приобретает следую-
щий вид:
δ
D
−
1
T
∂T
∂x
i
q
i
≥
0
,
(
6
)
где
δ
D
=
−
ρ
∂A
∂χ
˙
χ
— диссипативная функция.
Положим далее, что мала не только полная деформация
(
k
ε
ij
k
1
,
k ∙ k
— евклидова норма матрицы, составленной из компонентов соот-
ветствующего тензора), но и температурная деформация, определен-
ная тензором с компонентами
ε
(
T
)
ij
=
ε
(
T
)
ji
, и фазовая с компонентами
ε
(
χ
)
ij
=
ε
(
χ
)
ji
. Отметим, что
ε
(
T
)
ij
= 0
при температуре
T
0
естественного
состояния и
˙
ε
(
χ
)
ij
= 0
при
˙
χ
= 0
.
Представим первое соотношение из (1) следующим образом:
ρA
(
ε
kl
, T, χ
) =
=
1
2
C
ijkl
(
ε
kl
−
ε
(
T
)
kl
−
ε
(
χ
)
kl
)(
ε
ij
−
ε
(
T
)
ij
−
ε
(
χ
)
ij
) +
ρB
(
T, χ
)+
+
ρB
1
(
χ
)
−
1
2
C
ijkl
(
−
ε
(
T
)
kl
−
ε
(
χ
)
kl
)(
−
ε
(
T
)
ij
−
ε
(
χ
)
ij
)
,
(7)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
67
