U
[
u
] =
1
2
Z
V
σ
ij
ε
ij
dV
=
1
2
χ
1
Z
V
1
σ
ij
1
ε
ij
dV
+
χ
2
Z
V
2
σ
ij
2
ε
ij
dV
+
+
χ
1
χ
2
Z
V
1
ε
ij
−
2
ε
ij
2
σ
ij
−
1
σ
ij
dV
=
U
1
[
u
] +
U
2
[
u
] +
U
12
[
u
]
,
где
U
1
[
u
]
, U
2
[
u
]
и
U
12
[
u
]
— средние значения потенциальной энергии
деформации компонентов материала и потенциальная энергия их взаи-
модействия. Выразив компоненты тензоров напряжений и деформации
через их шаровые и девиаторные составляющие, получим
U
12
[
u
] =
1
2
A
μ
Z
V
(
μ
V
−
μ
)(
μ
−
μ
R
)
e
ij
e
ij
dV
+
+
1
2
A
K
Z
V
(
K
V
−
K
)(
K
−
K
R
)
ε
2
kk
dV,
(17)
A
μ
=
2
μ
1
μ
2
χ
1
χ
2
(
μ
1
−
μ
2
)
2
μ
R
, A
K
=
K
1
K
2
χ
1
χ
2
K
R
(
K
1
−
K
2
)
2
,
K
V
=
χ
1
K
1
+
χ
2
K
2
, K
−
1
R
=
χ
1
K
−
1
1
+
χ
2
K
−
1
2
,
μ
V
=
χ
1
μ
1
+
χ
2
μ
2
, μ
−
1
R
=
χ
1
μ
−
1
1
+
χ
2
μ
−
1
2
,
где
K
V
, μ
V
, K
R
, μ
R
— оценки упругих свойств по Фойгту и Рейссу.
В том случае, когда эффективные значения
K
и
μ
фиксированы,
любое изменение эффективных значений
σ
ij
и
ε
ij
приводит к соот-
ветствующему изменению средних значений
α
σ
ij
и
α
ε
ij
в компонентах
материала. С другой стороны, можно задать вариации средних значе-
ний
α
u
i
,
α
σ
ij
и
α
ε
ij
,
не изменяя эффективные значения переменных
u
i
, σ
ij
и
ε
ij
.
Это приводит к изменению величины эффективных модулей.
Пусть
α
u
i
,
α
σ
ij
,
α
ε
ij
— истинные поля вектора перемещения и тензоров
напряжений и деформации. Введем возможные поля вектора переме-
щений
α
u
i
такими, что на поверхности рассматриваемого тела
α
u
i
=
α
u
i
.
Потребуем, чтобы для соответствующих им значений компонентов
тензоров деформации выполнялись условия
χ
1
1
ε
ij
+
χ
2
2
ε
ij
=
ε
ij
, χ
1
δ
1
ε
ij
+
χ
2
δ
2
ε
ij
= 0
,
(
18
)
где
δ
α
ε
ij
=
α
ε
ij
−
α
ε
ij
— вариации компонентов тензоров деформации.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
71
