Тогда из соотношений (16) следует
χ
α
α
ε
kk
=
K
−
K
ν
K
α
−
K
ν
ε
kk
, χ
α
α
e
ij
=
μ
−
μ
ν
μ
α
−
μ
ν
e
ij
,
χ
α
δ
α
ε
kk
=
δK
K
α
−
K
ν
ε
kk
, χ
α
δ
α
e
ij
=
δμ
μ
α
−
μ
ν
e
ij
.
(
19
)
Если ранее эффективные модули
K, μ
были постоянными, то вели-
чины модулей
K , μ
и их вариации
δK , δμ ,
как и компоненты тен-
зоров
α
e
ij
,
α
ε
kk
и их вариации, являются функциями пространственных
координат. Таким образом, реальное тело с фиксированными свойства-
ми заменено телом с переменными упругими свойствами.
Вариационный принцип Лагранжа для данного случая можно за-
писать следующим образом [14]:
1
2
Z
V
K ε
2
kk
+ 2
μ e
ij
e
ij
dV
≤
χ
1
2
Z
V
K
1
1
ε
kk
2
+ 2
μ
1
1
e
ij
1
e
ij
dV
+
+
χ
2
2
Z
V
K
2
2
ε
kk
2
+2
μ
2
2
e
ij
2
e
ij
dV
+
1
2
A
K
Z
V
(
K
V
−
K
)(
K
−
K
R
)
ε
2
kk
dV
+
+
1
2
A
μ
Z
V
(
μ
V
−
μ
)(
μ
−
μ
R
)
e
ij
e
ij
dV.
(
20
)
Для выполнения неравенства (20) при любых допустимых функци-
ях
K
и
μ
необходимо, чтобы третье и четвертое слагаемые в правой
части этого неравенства были положительны, т. е. были бы справедли-
вы неравенства
2
X
α
=1
χ
α
K
α
>
K
>
2
X
α
=1
χ
α
K
α
!
−
1
,
2
X
α
=1
χ
α
μ
α
≥
μ
≥
2
X
α
=1
χ
α
μ
α
!
−
1
(
21
)
— границы по Фойгту (верхние) и Рейссу (нижние) [10, 12].
При этом наихудший результат оценок
K
и
μ
сверху соответству-
ет максимуму функционалов
U
K
[
K
] =
1
2
A
K
Z
V
(
K
V
−
K
)(
K
−
K
R
)
ε
2
kk
dV,
U
μ
[
μ
] =
1
2
A
μ
Z
V
(
μ
V
−
μ
)(
μ
−
μ
R
)
e
ij
e
ij
dV.
72
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
