где
C
ijkl
=
C
jikl
=
C
ijlk
=
C
klij
— компоненты тензора коэффици-
ентов упругости,
B
(
T, χ
)
— часть свободной энергии единицы массы
тела, зависящая от абсолютной температуры и внутреннего параметра
состояния, причем
B
(
T
0
,
0) = 0
,
а
B
1
(
χ
)
— часть свободной энергии
единицы массы тела, звависящая только от внутреннего параметра
состояния, и
B
1
(0) = 0
.
Отметим, что при
ε
ij
= 0
из равенства (7) сле-
дует, что
ρA
=
ρB
+
ρB
1
,
т. е. при отсутствии деформации свободная
энергия тела зависит только от абсолютной температуры и внутренне-
го параметра состояния.
Из первого равенства (5) и соотношения (7) следует выражение для
компонентов тензора напряжений:
σ
ij
=
C
ijkl
(
ε
kl
−
ε
(
T
)
kl
−
ε
(
χ
)
kl
)
.
(
8
)
Если равенство (8) разрешить относительно компонентов тензора
деформации, то
ε
ij
=
B
ijkl
σ
kl
+
ε
(
T
)
ij
+
ε
(
χ
)
ij
,
(
9
)
где
B
ijkl
— копоненты тензора коэффициентов податливости; тензор
упругой деформации имеет компоненты
ε
(
e
)
ij
=
B
ijkl
σ
kl
. Для изотроп-
ного материала соотношения (8) и (9) можно привести к следующему
виду:
σ
ij
=
K
−
2
3
μ ε
kk
δ
ij
+ 2
με
ij
−
3
K
(
ε
(
T
)
+
ε
(
χ
)
)
δ
ij
,
ε
ij
=
1
2
μ
σ
ij
−
K
−
2
μ/
3
3
K
σ
kk
δ
ij
+ (
ε
(
T
)
+
ε
(
χ
)
)
δ
ij
,
(
10
)
где
K
,
μ
— модули всестороннего сжатия и сдвига соответственно,
δ
ij
— символ Кронекера.
Закон сохранения энергии (4) с учетом равенств (5) принимает вид
−
ρT
∂
2
B
∂T
2
˙
T
−
ρT
∂
2
B
∂T∂χ
˙
χ
+
TC
ijkl
˙
ε
kl
∂ε
(
T
)
ij
∂T
=
−
∂q
i
∂x
i
+
ρr
+
δ
D
,
(11)
где не учитываются слагаемые, содержащие линейную и квадратич-
ную зависимость
h
и
˙
h
от
ε
ij
,
ε
(
T
)
ij
и
ε
(
χ
)
ij
, имеющие более высокий
порядок малости по сравнению с оставшимися.
Если положить, что компоненты вектора плотности теплового по-
тока связаны с градиентом температуры законом Фурье:
q
i
=
−
λ
(
T
)
ij
∂T
∂x
j
,
где
λ
(
T
)
ij
=
λ
(
T
)
ij
(
T, χ
)
— компоненты симметричного тензора тепло-
проводности, то закон сохранения энергии в виде (11) переходит в
68
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
