При дальнейшем уменьшении значения
l
с этих петель снима-
ются орбитально устойчивые циклы
С
+
1
и
С
+
2
, охватывающие точки
M
4
(
α
r
,
0)
и
M
5
(
−
α
r
,
0)
соответственно. Точки
M
4
(
α
r
,
0)
и
M
5
(
−
α
r
,
0)
все еще остаются неустойчивыми фокусами, “выходящие” из них тра-
ектории наматываются на циклы
С
+
1
и
С
+
2
изнутри. Все остальные
траектории, расположенные ниже траектории
R
−
2
, наматываются на
эти же циклы снаружи. Этим траекториям соответствуют колебатель-
ные движения маятника, переходящие в один из двух устойчивых ав-
токолебательных режимов.
С уменьшением значения
l
указанные циклы сжимаются, и, на-
конец, при
l
=
l
6
= 0
,
00045
каждый из них “схлопывается” в одну
из устойчивых точек
M
4
(
α
r
,
0)
или
M
5
(
−
α
r
,
0)
(типовая бифуркация
Андронова – Хопфа). Для всех значений
l
из интервала
l
2
[0
, l
6
)
эти точки — асимптотически устойчивые фокусы. Теперь траектори-
ям, расположенным ниже траектории
R
−
2
, соответствуют затухающие
колебания маятника около равновесного положения, близкого к поло-
жению “поперек потока”.
В заключение остановимся на случае
l
= 0
. Задача о поведении
такого маятника (флюгера) исследовалась еще Жуковским [2], им было
отмечено следующее: “Если такой флюгер поставить против ветра, то
он становится перпендикулярно к направлению ветра и имеет в этом
положении хорошую устойчивость. Но если мы сообщим флюгеру
вращательное движение в том или другом направлении, то он будет
продолжать вращаться в заданном направлении”, причем в режиме
самовращения “опыт дает приблизительно
ω
= 0
,
5
”.
Любопытно, что даже в рамках рассмотренной здесь динамической
системы второго порядка, основанной на квазистатической модели
аэродинамического воздействия на пластинку, эти свойства получи-
ли свое не только качественное, но и количественное подтверждение
(
ω
= 0
,
45
, см. рис. 10). Кроме того, из этого же рисунка следует оцен-
ка той начальной угловой скорости (
ω
= 0
,
39
), преодоление которой
необходимо для выхода в область притяжения авторотационного ре-
жима
R
+
.
Высокоскоростные режимы авторотации
R
+
1
и
R
−
1
ранее не обсу-
ждались, возможно, в связи с трудностью их практической реализа-
ции или с особенностями конкретного профиля, использованного в
расчетах.
Заключение.
Таким образом, обращение к классическим задачам
Жуковского даже при небольшой их модификации позволяет выявить
некоторые любопытные свойства в поступательно-вращательном дви-
жении тел, взаимодействующих со средой.
Работа выполнялась при поддержке грантов РФФИ (14-08-01130,
12-01-00364).
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
47
