τ
=
V t
b
;
v
=
V
c
V
;
ω
=
b
˙
ϑ
V
,
где
J
— момент инерции всей конструкции относительно точки
О
(точкой обозначена производная по времени
τ
);
C
N
(
α
) =
C
L
(
α
) cos
α
+
+
C
D
(
α
) sin
α
— коэффициент нормальной силы.
В соответствии с квазистатической моделью обтекания, зависимо-
сти
q
(
α
)
и
e
(
α
)
определяются из статических экспериментов в аэро-
динамических трубах и полагаются известными. Так, данные зависи-
мости для плоских прямоугольных пластинок различного удлинения
приведены в работе [12].
Отметим, что принятая модель аэродинамического момента, вве-
денная в правую часть уравнений (8), содержит неявным образом зави-
симость от угловой скорости
ω
. Обычно в прикладной аэродинамике
подобная зависимость вводится через так называемые вращательные
производные и носит линейный характер.
Можно показать, что кинематические уравнения (9) относительно
параметров
α
и
v
в некоторых областях фазовой плоскости имеют
неединственное решение. Поскольку в реальном движении маятника
характер обтекания и силового воздействия со стороны среды изме-
няется скорее непрерывно, чем скачками, в дальнейшем примем, что
при прохождении области неоднозначности значения угла
α
следует
выбирать, сохраняя, по возможности, непрерывность его изменения в
процессе движения.
Для численного эксперимента была выбрана пластинка с удлине-
нием 8. Значение безразмерного параметра
k
= 0
,
001
, а безразмерная
длина
l
державки варьировалась в диапазоне 0. . . 3. Установлено, что
выделяются несколько критических значений
l
, при переходе через ко-
торые происходит коренная перестройка фазового портрета системы.
Зависимости максимальных по углу
ϑ
значений угловой скорости
ω
max
на характерных фазовых траекториях от длины державки услов-
но (не в масштабе, но с указанием числовых значений) представлены
на рис. 10. Через
l
k
(
k
= 1
,
2
, . . . ,
6
) обозначены критические значения
длины державки, при этом
l
1
=
e
m
; множества
S
+
и
S
−
— значе-
ния
ω
max
на сепаратрисе, входящей в седловую точку
M
2
(
π,
0)
и вы-
ходящей из седловой точки
M
3
(
−
π,
0)
, ближайшие к этим точкам;
С
+
— значения
ω
max
на устойчивом цикле, не охватывающем фазо-
вый цилиндр;
R
+
и
R
−
— значения
ω
max
на устойчивом и неустойчи-
вом циклах, охватывающих фазовый цилиндр (кривые
R
−
показаны
штриховыми линиями). Циклам
С
+
соответствуют автоколебательные
режимы движения маятника, а циклам
R
+
и
R
−
— авторотационные.
44
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
